§ 3. Обратная функция

Определения и обозначения

Функция называется взаимно однозначной на выбранной области, если каждому её значению соответствует ровно один аргумент. Иначе говоря, два разных аргумента не дают одного и того же значения функции. Это условие нужно, чтобы по результату можно было восстановить исходный аргумент без выбора между несколькими вариантами.

Обратная функция — это функция, которая каждому значению y исходной функции ставит в соответствие единственный аргумент x, при котором f(x) = y. Она как бы отменяет действие исходной функции: сначала аргумент превращается в значение, а затем это значение возвращается к аргументу. Поэтому обратное соответствие должно быть однозначным.

Обратную к функции f обозначают f⁻¹. Верхний индекс −1 здесь является частью обозначения и не означает дробь 1/f(x). Такое различие существенно: 1/f(x) связано с делением единицы на значение функции, а f⁻¹ возвращает аргумент исходной функции.

Область определения обратной функции равна множеству значений исходной, а её множество значений — области определения исходной. Эти множества меняются местами, потому что в обратном соответствии бывшее значение становится аргументом, а бывший аргумент — значением. Это правило помогает правильно указать, при каких x определена найденная формула.

Как это устроено

Чтобы найти формулу обратной зависимости, сначала записывают исходное равенство как y = f(x). Затем x и y меняют местами: теперь бывшее значение становится аргументом обратной функции, а бывший аргумент — её значением. После этого выражают y через x, потому что формула функции должна показывать, какое значение получается при заданном аргументе.

Самой перестановки букв недостаточно: новую зависимость должно быть возможно задать однозначно. Если одно значение исходной функции получено при двух разных аргументах, ему в обратном соответствии пришлось бы назначить сразу два значения. Например, при x² = 9 возможны x = 3 и x = −3, поэтому на всей числовой прямой для квадратичной функции однозначной обратной нет.

Иногда достаточно ограничить область определения исходной функции, чтобы разные аргументы больше не давали одинаковый результат. Для y = x² можно оставить только x ≥ 0: тогда каждому неотрицательному значению y соответствует ровно один аргумент x = √y. После перестановки переменных получаем обратную функцию y = √x, область определения которой — x ≥ 0.

У соответствующих точек графиков взаимно обратных функций координаты меняются местами: если (a; b) лежит на графике f, то (b; a) лежит на графике f⁻¹. Перестановка координат отражает точку относительно прямой y = x, поэтому графики симметричны относительно этой прямой. Это геометрическое свойство позволяет увидеть связь функций на чертеже.

Результат можно проверить подстановкой одной функции в другую. Если обратная найдена верно, то f(f⁻¹(x)) = x, а f⁻¹(f(x)) = x там, где обе композиции определены. Такая проверка подтверждает, что действия действительно отменяют друг друга, и помогает обнаружить ошибку в алгебраических преобразованиях.

Исходная и обратная функции

Сначала сравните области определения и множества значений: они должны поменяться местами. Затем проверьте, не теряется ли однозначность соответствия. Строка о графиках подсказывает, как расположены две функции относительно прямой y = x.

Разбор задач

Задача 1. Найти обратную функцию к f(x) = 3x − 5 и указать её область определения. Исходная линейная функция принимает все действительные значения, поэтому каждое число может стать аргументом обратной функции. Найдём формулу перестановкой переменных.

1. Записываем y = 3x − 5 и меняем местами x и y: x = 3y − 5.
2. Выражаем y: 3y = x + 5, значит, y = (x + 5)/3.
3. У исходной функции множество значений — все действительные числа, поэтому область определения найденной функции также равна ℝ.

Ответ: f⁻¹(x) = (x + 5)/3, D(f⁻¹) = ℝ. В качестве проверки можно подставить результат в исходную формулу: 3 · (x + 5)/3 − 5 = x. Получилось исходное значение аргумента.

Задача 2. Найти обратную функцию к f(x) = x² при условии x ≥ 0 и проверить результат. Ограничение важно: оно оставляет только неотрицательные аргументы, поэтому квадрат определяет их однозначно. Без этого условия уравнение для аргумента имело бы два корня.

1. Записываем y = x² и меняем местами переменные: x = y².
2. Извлекаем корень: y = ±√x, но исходный аргумент был неотрицательным, поэтому выбираем y = √x.
3. Множество значений исходной функции — x ≥ 0, значит, это область определения обратной функции.

Ответ: f⁻¹(x) = √x при x ≥ 0. Проверка: (√x)² = x для x ≥ 0, а √(x²) = x при x ≥ 0. Условие на область позволяет выбрать правильную ветвь корня.

Задача 3. Определить, существует ли обратная функция для f(x) = x² на всей числовой прямой; если нет, указать подходящие ограничения области определения. Проверим, можно ли по одному значению квадрата восстановить аргумент. Если таких аргументов несколько, ограничим исходную область одной из половин числовой прямой.

1. Сравниваем аргументы 2 и −2: они различны, но f(2) = f(−2) = 4.
2. Значит, обратное соответствие должно было бы отправить 4 сразу в 2 и −2, поэтому на всей ℝ обратной функции нет.
3. Ограничиваем область до x ≥ 0 или до x ≤ 0; в первом случае обратная формула √x, во втором — −√x, при x ≥ 0.

Ответ: на всей ℝ обратной функции нет. При ограничении x ≥ 0 получаем f⁻¹(x) = √x, а при x ≤ 0 — f⁻¹(x) = −√x; в обоих случаях область определения обратной функции — x ≥ 0.

Типичные ошибки

Принимают f⁻¹(x) за 1/f(x), потому что показатель −1 часто связывают с обратным числом. Но здесь он обозначает обратную функцию, которая восстанавливает аргумент. Проверьте себя подстановкой: f(f⁻¹(x)) должно дать x, а не единицу.

После перестановки x и y сразу записывают полученную формулу, забывая, что новую переменную не всегда можно выразить однозначно. Это происходит, например, при извлечении квадратного корня, когда появляются два знака. Перед ответом проверьте исходную область и убедитесь, что значение функции соответствует только одному аргументу.

Находят обратную к y = x² на всей числовой прямой, не замечая, что x и −x имеют одинаковый квадрат. Из-за этого выбирают корень без основания или получают два значения вместо одного. Подставьте пару противоположных аргументов; если значения совпали, ограничьте область определения и только потом ищите обратную.

Оставляют у обратной функции прежнюю область определения, хотя множества должны поменяться местами. Обычно так бывает, когда находят формулу, но не возвращаются к исходному соответствию. Сверьте множество значений исходной функции с областью определения обратной, а область определения исходной — с множеством значений обратной.

Связь с другими темами

Для работы с обратной функцией нужно уметь находить область определения и множество значений исходной функции. Также пригодится решение уравнений относительно одной переменной: именно так из переставленного равенства получают новую формулу. Если уравнение даёт несколько решений, это может указывать, что исходная функция не взаимно однозначна.

Обратная функция связана с графиками и их преобразованиями: перестановка координат задаёт симметрию относительно y = x. Эта идея используется и при изучении обратных тригонометрических функций. Для них также важно выбирать область, на которой исходная функция взаимно однозначна.

Что запомнить

• Обратная функция возвращает аргумент по значению исходной функции.
• Обратная функция существует, если исходная функция взаимно однозначна на выбранной области.
• Для нахождения обратной функции меняют местами x и y и выражают y.
• Область определения обратной функции совпадает с множеством значений исходной.
• Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой y = x.
• f⁻¹(x) — обозначение обратной функции, а не 1/f(x).