§ 4. Числовая окружность

Определения и обозначения

Числовая окружность — единичная окружность, на которой каждому действительному числу сопоставляют точку по правилу движения по окружности. Единичной называют окружность радиуса 1. Такое соответствие позволяет изображать числа не только на прямой, но и на окружности, что особенно удобно при изучении тригонометрии.

Начальная точка — точка числовой окружности, которой соответствует число 0; обычно это точка (1; 0). От неё начинают отсчёт пути, поэтому расположение остальных чисел можно описывать относительно этой точки. Координаты (1; 0) означают, что точка находится справа от центра окружности.

Радианная мера — способ измерять угол в радианах. На единичной окружности численное значение радианной меры равно длине дуги, соответствующей углу. Благодаря этому число на прямой можно связать с конкретным участком окружности, а не только с величиной поворота.

Координаты точки числовой окружности задают её положение на плоскости. Если точке соответствует число t, то её координаты равны (cos t; sin t). Эта запись нужна, чтобы по числу находить координаты и, наоборот, связывать положение точки со значениями синуса и косинуса.

Как это устроено

Представьте, что числовую прямую оборачивают вокруг единичной окружности, начиная с отметки 0. Ноль помещают в начальную точку, а положительные числа откладывают против часовой стрелки. Такой способ работает потому, что расстояние на прямой можно перенести на дугу окружности: чем больше число, тем дальше путь от начальной точки. После одного обхода числа продолжают откладывать, но точка снова оказывается там, где началось движение.

Длина полного оборота равна 2π: длина окружности вычисляется как 2πr, а здесь радиус r равен 1. Поэтому прибавление 2π к числу означает ещё один полный обход, который не меняет конечную точку. В общем случае t и t + 2πk указывают на одно место, если k — целое число; отрицательное k задаёт обходы в обратную сторону. Это объясняет, почему одной точке соответствуют бесконечно многие числа.

Радианы связывают поворот с длиной пройденной дуги. Для окружности радиуса r длина дуги равна произведению радиуса на угол в радианах, поэтому на единичной окружности, где r = 1, длина дуги численно совпадает с углом. Например, путь длиной π/2 соответствует четверти оборота. На окружности другого радиуса та же мера угла задаёт дугу другой длины.

Если число отрицательное, движение начинают из той же начальной точки, но ведут по часовой стрелке. Это следует из соглашения о направлениях: положительное направление задают против часовой стрелки, а противоположное ему считают отрицательным. Модуль числа показывает длину пройденной дуги, а знак — направление. Поэтому −π/2 и π/2 попадают в разные точки, хотя расстояние от начальной точки по дуге у них одинаково.

Чтобы найти точку по заданному числу, удобно убрать полные обороты и оставить остаток. Для этого прибавляют или вычитают 2π так, чтобы получить число из подходящего промежутка, например [0; 2π). Затем остаток откладывают от начальной точки в нужном направлении. Такой приём сохраняет конечную точку и позволяет сравнить путь с четвертью или половиной окружности.

Как действительные числа задают точки числовой окружности

Сначала найдите в таблице знак числа, чтобы выбрать направление движения. Затем сравните его с длиной полного оборота 2π: полные обороты можно отбросить, поскольку они возвращают в ту же точку. Остаток пути определяет положение точки относительно начальной.

Разбор задач

Задача 1. Отметьте на числовой окружности точки, соответствующие числам 0, π/2, π и 3π/2.

1. Полный оборот равен 2π, поэтому π/2 составляет его четверть.
2. От начальной точки (1; 0) отложите π/2 против часовой стрелки: получится верхняя точка (0; 1).
3. Число π задаёт половину оборота, значит, точка окажется слева, в положении (−1; 0). Число 3π/2 задаёт три четверти оборота: это нижняя точка (0; −1).

Ответ: 0 — (1; 0), π/2 — (0; 1), π — (−1; 0), 3π/2 — (0; −1).

Задача 2. Найдите все числа, которым соответствует точка (0; −1).

1. Координаты показывают, что точка находится внизу окружности. От начальной точки до неё против часовой стрелки нужно пройти три четверти оборота, то есть 3π/2.
2. Поскольку полный оборот не меняет конечную точку, к найденному числу можно прибавить любое целое количество оборотов: 2πk.
3. Запишите все значения одной формулой и проверьте, что при любом целом k добавляются только полные обходы.

Ответ: 3π/2 + 2πk, где k ∈ Z.

Задача 3. Точка числовой окружности соответствует числу −17π/3. Определите ту же точку, задав её числом из промежутка [0; 2π).

1. Нужно получить неотрицательное число меньше 2π, не изменив конечную точку. Для этого прибавляем полные обороты длиной 2π = 6π/3.
2. Прибавим 18π/3, то есть три полных оборота: −17π/3 + 18π/3 = π/3.
3. Проверим принадлежность промежутку: 0 ≤ π/3 < 2π. Прибавление целого числа полных оборотов сохраняет точку.

Ответ: π/3.

Типичные ошибки

Не путайте длину полного оборота 2π с радиусом окружности. Ошибка возникает потому, что оба числа связаны с окружностью, но радиус равен 1, а 2π — её длина, полученная по формуле 2πr. Проверьте себя: подставьте r = 1 в формулу длины окружности.

Отрицательное число нельзя откладывать против часовой стрелки: это направление соответствует положительным числам. Иногда направление путают, ориентируясь только на величину числа. Сначала смотрите на знак: минус означает движение по часовой стрелке, а модуль задаёт длину пути.

Одна точка не соответствует только одному числу: к любому её значению можно прибавить 2πk. Так происходит, потому что каждый полный оборот возвращает движение в исходное положение. Для проверки добавьте к найденному значению 2π и убедитесь, что конечная точка не изменилась.

Не переносите равенство радианной меры и длины дуги на окружность любого радиуса. Оно в таком виде верно именно для единичной окружности; для радиуса r длина дуги равна r, умноженному на угол в радианах. Чтобы избежать ошибки, проверьте, чему равен радиус: при r = 1 множитель не меняет численное значение.

Связь с другими темами

Для работы с числовой окружностью нужны представления о единичной окружности, координатах точек на плоскости и направлениях вращения. Она, в свою очередь, помогает определить синус и косинус числового аргумента: эти значения связаны с координатами точки. Повторение координат полезно при переходе от геометрии к тригонометрии.

Одинаковое положение точек для чисел, отличающихся на 2π, подводит к периодичности тригонометрических функций. Радианная мера пригодится при решении тригонометрических уравнений и задач на измерение углов. Поэтому умение переводить число в положение на окружности становится основой для дальнейших тем.

Что запомнить

• Радиус числовой окружности равен 1.
• Начальной точке соответствует число 0.
• Положительное направление — против часовой стрелки.
• Отрицательное направление — по часовой стрелке.
• Полный оборот соответствует 2π.
• Числа t и t + 2πk задают одну точку при любом целом k.