§ 5. Числовая окружность на координатной плоскости

Определения и обозначения

Числовая окружность на координатной плоскости — это окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Её уравнение имеет вид x² + y² = 1. Единичный радиус выбран потому, что при таком масштабе длина дуги сразу выражается числом, которое ей соответствует.

Начальной точкой числовой окружности называют точку (1; 0), от которой начинают отсчёт. Числу сопоставляют точку, двигаясь по окружности на соответствующую длину дуги. Это соглашение превращает обычное число в положение на окружности и позволяет изображать числа геометрически.

Положительные числа откладывают против часовой стрелки, а отрицательные — по часовой стрелке. Число x можно понимать как ориентированную длину дуги от начальной точки; на окружности радиуса 1 эта длина совпадает с углом в радианах. Такой способ записи сохраняет направление движения, а не только расстояние.

Если точке соответствует число x, её координаты равны (cos x; sin x). Косинус — абсцисса, то есть первая координата, синус — ордината, то есть вторая. Поэтому числовая окружность даёт наглядный геометрический смысл значениям тригонометрических функций.

Как это устроено

Число задаёт не просто расстояние от начальной точки, но и направление движения. Если число положительное, путь проходит против часовой стрелки; если отрицательное — в обратную сторону. Поэтому, например, числа 1 и −1 приводят в разные точки, хотя длины пройденных дуг одинаковы. Знак числа нужно учитывать до того, как определять положение точки.

Радиус окружности равен 1, и это объясняет связь длины дуги с углом. В радианной мере угол определяется отношением длины дуги к радиусу, поэтому при радиусе 1 числовое значение угла совпадает с длиной дуги. Полный оборот имеет длину 2π, значит, он соответствует углу 2π радиан. Числа выражают здесь углы именно в радианах, если не указано иное.

После полного оборота точка возвращается к началу пути. Поэтому числа x, x + 2π, x − 2π и вообще x + 2πk, где k — целое число, задают одну точку. Это периодичность числовой окружности: повторение положения происходит из-за повторения траектории. Чтобы проще найти точку, можно прибавить или вычесть несколько полных оборотов и оставить число в удобном промежутке.

На окружности координата по горизонтали — это косинус, а по вертикали — синус. Например, начальная точка (1; 0) соответствует числу 0: cos 0 = 1, sin 0 = 0. При движении против часовой стрелки точка сначала поднимается, поэтому синус становится положительным; абсцисса при этом постепенно уменьшается. Такое движение объясняет изменение координат лучше, чем заучивание значений отдельно.

Окружность делят осями координат на четыре четверти. В каждой четверти знаки координат постоянны: в первой обе координаты положительны; во второй абсцисса отрицательна, а ордината положительна; в третьей обе отрицательны; в четвёртой абсцисса положительна, а ордината отрицательна. Значит, по четверти сразу можно определить знаки косинуса и синуса, даже если точное значение неизвестно.

Поскольку точка лежит на окружности радиуса 1, сумма квадратов её координат равна 1. Подставляя координаты (cos x; sin x), получаем основное соотношение cos² x + sin² x = 1. Оно позволяет найти одну из функций, если известна другая, но при извлечении корня знак нужно выбирать по четверти. Геометрия окружности объясняет, почему это равенство верно для любого x.

Основные положения числовой окружности

В таблице собраны опорные точки и соответствующие им значения. Координаты записаны в порядке (cos x; sin x), а числа даны в радианах.

Используйте строки как ориентиры: сначала определите, между какими соседними опорными числами лежит заданное число. Затем выберите нужную четверть и установите знаки координат. Если число выходит за промежуток от 0 до 2π, прибавьте или вычтите полные обороты по 2π.

Разбор задач

Задача. Определите четверть числовой окружности, в которой находится точка, соответствующая числу −5π/6, и укажите знаки её координат. Нужно учесть и отрицательное направление движения, и то, что путь может включать полный оборот. Точное вычисление координат здесь не требуется.

1. Сначала переведём отрицательное число в удобный положительный промежуток. Прибавим полный оборот 2π: −5π/6 + 2π = −5π/6 + 12π/6 = 7π/6. Эти числа отличаются на 2π, поэтому задают одну и ту же точку.

2. Сравним полученное число с границами четвертей. Имеем π = 6π/6 и 3π/2 = 9π/6, поэтому π < 7π/6 < 3π/2. Следовательно, точка находится в третьей четверти. Такое сравнение надёжнее, чем попытка представить отрицательное движение на глаз.

3. В третьей четверти обе координаты отрицательны. Абсцисса равна cos(−5π/6), а ордината — sin(−5π/6), поэтому оба значения имеют знак минус. Для проверки можно посмотреть на положение точки при 7π/6: она расположена левее вертикальной оси и ниже горизонтальной.

Ответ: точка находится в третьей четверти; cos(−5π/6) < 0 и sin(−5π/6) < 0. В решении важно было сначала заменить число равным ему числом из удобного промежутка, а затем определить четверть. Если забыть о направлении или перепутать координаты синуса и косинуса, можно получить неверные знаки.

Типичные ошибки

• Путать направление движения. Иногда отрицательное число откладывают против часовой стрелки, потому что ориентируются только на его модуль. Ошибка возникает, если забыть, что знак задаёт направление, а модуль — длину дуги. Проверьте себя: для отрицательного числа путь от (1; 0) должен идти по часовой стрелке.

• Считать, что числа, отличающиеся на π, задают одну точку. Такой сдвиг переносит точку на половину окружности, а не возвращает её в прежнее положение. Полный оборот равен 2π, поэтому совпадающие положения задаются числами x + 2πk. Для проверки проследите, сколько оборотов соответствует разности чисел.

• Менять местами синус и косинус. Это происходит, если не помнить, какая координата горизонтальная, а какая вертикальная. Косинус — абсцисса, синус — ордината, поэтому координаты записывают как (cos x; sin x). Сверьте порядок на начальной точке: при x = 0 получаем (1; 0).

• Определять знак функции без учёта четверти. Даже зная, что квадрат значения неотрицателен, нельзя выбирать знак корня наугад. Ошибку предотвращает проверка положения точки: справа абсцисса положительна, выше оси абсцисс ордината положительна. После определения четверти проверьте, согласуются ли с ней знаки синуса и косинуса.

Связь с другими темами

Числовая окружность связывает координаты точек с тригонометрическими функциями: синус и косинус становятся координатами, а не только обозначениями значений угла. Она помогает изучать их знаки, периоды и основные тождества, в частности cos² x + sin² x = 1. Единичная окружность также опирается на понятия координатной плоскости, радиуса, дуги и радианной меры угла. Позже этот способ представления пригодится при чтении графиков тригонометрических функций и решении уравнений.

Что запомнить

• Числовая окружность имеет радиус 1, центр в начале координат и начальную точку (1; 0).

• Положительные числа откладывают против часовой стрелки, отрицательные — по часовой.

• Точке числа x соответствуют координаты (cos x; sin x): косинус — абсцисса, синус — ордината.

• Полный оборот равен 2π, поэтому x и x + 2πk задают одну точку при целом k.

• Знаки синуса и косинуса определяются четвертью; координаты удовлетворяют равенству cos² x + sin² x = 1.