§ 6. Синус и косинус. Тангенс и котангенс

Определения и обозначения

Синус угла x — ордината точки единичной окружности, соответствующей этому углу; его обозначают sin x. Ордината — это вторая координата точки, то есть её положение по вертикали. Синус помогает описывать вертикальную составляющую поворота и находить координаты точки на окружности.

Косинус угла x — абсцисса соответствующей точки единичной окружности; обозначение — cos x. Абсцисса является первой координатой и показывает положение точки по горизонтали. Вместе синус и косинус позволяют задать обе координаты точки, не измеряя их отдельно.

Тангенс угла x — отношение синуса к косинусу: tg x = sin x / cos x. Он определён только при cos x ≠ 0, иначе знаменатель дроби равен нулю. Тангенс удобно использовать, когда известны синус и косинус либо нужно выразить их отношение.

Котангенс угла x — отношение косинуса к синусу: ctg x = cos x / sin x. Он определён только при sin x ≠ 0, поскольку на ноль делить нельзя. Котангенс описывает обратное отношение координат и помогает переходить от одной тригонометрической функции к другой.

Как это устроено

Каждому действительному числу x можно сопоставить поворот на угол x и точку, в которой его конечная сторона пересекает единичную окружность. Единичной называют окружность радиуса 1 с центром в начале координат; число x обычно задаёт угол в радианах. Если координаты точки обозначить (a; b), то по определению cos x = a, а sin x = b. Поэтому тригонометрические функции превращают угол в координаты, а не просто приписывают углу произвольное число.

Окружность имеет радиус 1, значит, для координат любой её точки выполняется a² + b² = 1. Подставляя a = cos x и b = sin x, получаем основное тождество sin² x + cos² x = 1. Каждая координата точки окружности не может выходить за пределы от −1 до 1, поэтому |sin x| ≤ 1 и |cos x| ≤ 1. Именно геометрия окружности объясняет и ограниченность функций, и связь их значений.

Тангенс и котангенс определены как дроби, поэтому область определения каждой функции зависит от того, когда её знаменатель не равен нулю. Косинус обращается в ноль при x = π/2 + πk, а синус — при x = πk, где k ∈ Z. Следовательно, эти значения исключают соответственно из области определения тангенса и котангенса. Если обе дроби существуют, то tg x · ctg x = (sin x / cos x) · (cos x / sin x) = 1: множители сокращаются, но только при ненулевых синусе и косинусе.

При увеличении угла на 2π точка совершает полный оборот и возвращается в исходное положение. Координаты точки не меняются, поэтому sin(x + 2π) = sin x и cos(x + 2π) = cos x; их период равен 2π. При повороте на π обе координаты меняют знак, но их отношение остаётся прежним: tg(x + π) = tg x и ctg(x + π) = ctg x. Поэтому тангенс и котангенс повторяются через π, а не через 2π.

Замена x на −x отражает точку окружности относительно горизонтальной оси: абсцисса сохраняется, а ордината меняет знак. Отсюда cos(−x) = cos x, а sin(−x) = −sin x; по отношению синуса к косинусу также следует tg(−x) = −tg x. Знак координат определяется четвертью: в I четверти обе координаты положительны; во II синус положителен, косинус отрицателен; в III обе отрицательны; в IV синус отрицателен, косинус положителен. Знаки тангенса и котангенса получают по знаку отношения: они положительны, когда синус и косинус одного знака, и отрицательны, когда знаки разные.

Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Чтобы пользоваться таблицей, сначала проверьте область определения: это особенно важно перед вычислением тангенса и котангенса. Период помогает находить повторяющиеся значения, а строка о нулях — решать уравнения вида sin x = 0 или tg x = 0. Буква k в формулах означает любое целое число.

Разбор задач

Задача 1. Найдите sin x, cos x, tg x и ctg x, если x = π/3. Это табличный угол, поэтому сначала определим координаты соответствующей точки единичной окружности. Затем найдём тангенс и котангенс как отношения координат.

1. Для угла π/3 координаты точки равны (1/2; √3/2), поэтому cos x = 1/2, а sin x = √3/2.
2. Подставляем значения в определения: tg x = (√3/2)/(1/2) = √3.
3. Аналогично ctg x = (1/2)/(√3/2) = 1/√3 = √3/3.

Ответ: sin x = √3/2, cos x = 1/2, tg x = √3, ctg x = √3/3. Оба отношения определены, потому что синус и косинус не равны нулю. При проверке произведение тангенса и котангенса равно 1.

Задача 2. Определите знаки sin x, cos x, tg x и ctg x, если π < x < 3π/2. Этот промежуток соответствует третьей четверти, поскольку начинается после π и заканчивается до 3π/2. В ней абсцисса и ордината точки окружности отрицательны.

1. Так как sin x — ордината, получаем sin x < 0.
2. Так как cos x — абсцисса, получаем cos x < 0.
3. Тангенс — отношение двух отрицательных чисел, поэтому tg x > 0. Котангенс — обратное отношение тех же координат, поэтому ctg x > 0.

Ответ: sin x < 0, cos x < 0, tg x > 0, ctg x > 0. Здесь ни одна из координат не равна нулю, так как угол находится внутри четверти, а не на её границе. Значит, обе дроби определены.

Задача 3. Найдите sin x и tg x, если cos x = −3/5 и x лежит во II четверти. Известна одна координата точки окружности, а вторую можно найти по основному тождеству. Четверть понадобится, чтобы выбрать верный знак синуса.

1. Из sin² x + cos² x = 1 получаем sin² x = 1 − (−3/5)² = 1 − 9/25 = 16/25.
2. Следовательно, sin x = ±4/5. Во II четверти ордината положительна, поэтому выбираем sin x = 4/5.
3. Вычисляем отношение: tg x = sin x / cos x = (4/5)/(−3/5) = −4/3.

Ответ: sin x = 4/5, tg x = −4/3. Знак синуса согласуется со второй четвертью, а знак тангенса отрицателен, поскольку синус и косинус имеют разные знаки. Тангенс определён, так как cos x = −3/5 ≠ 0.

Типичные ошибки

Ошибка — указывать tg x при cos x = 0 или ctg x при sin x = 0. Обычно забывают проверить знаменатель и сразу подставляют значения в формулу, хотя деление на ноль невозможно. Перед вычислением проверьте, не обращается ли нужный знаменатель в ноль; для тангенса исключены x = π/2 + πk, для котангенса — x = πk.

Неверно считать, что синус и косинус всегда положительны. Такое впечатление может возникнуть при работе только с острыми углами, но при других поворотах точка попадает в четверти с отрицательными координатами. Чтобы себя проверить, найдите четверть и вспомните: sin x — вертикальная координата, cos x — горизонтальная.

Периоды функций тоже часто путают: синус и косинус повторяются через 2π, а тангенс и котангенс — через π. Причина ошибки — перенос периода координатных функций на отношения этих координат. Проверить период тангенса можно, заметив, что при добавлении π обе координаты меняют знак, а их отношение сохраняется.

Нельзя считать tg x и ctg x взаимно обратными при любом x без оговорки. Их произведение равно 1 лишь там, где обе дроби определены, то есть sin x ≠ 0 и cos x ≠ 0. Перед сокращением множителей проверьте оба условия: если одно из них нарушено, одна из функций не существует.

Связь с другими темами

Чтобы работать с тригонометрическими функциями, нужно уметь читать координаты точки на плоскости и определять четверть. Ещё понадобятся представление об окружности и радианная мера угла: именно по ней значения x соотносят с поворотом. Эти знания позволяют понимать, откуда берутся знаки и координаты синуса и косинуса.

Позже синус, косинус, тангенс и котангенс пригодятся для решения тригонометрических уравнений и преобразования выражений. Их графики помогают видеть периодичность, значения и точки, где функции не определены. Поэтому свойства, изученные здесь, становятся основой для дальнейшей работы с функциями.

Что запомнить

• На единичной окружности cos x — абсцисса, а sin x — ордината точки.
• Для любого x: sin² x + cos² x = 1.
• tg x = sin x / cos x, если cos x ≠ 0.
• ctg x = cos x / sin x, если sin x ≠ 0.
• Периоды sin x и cos x равны 2π; периоды tg x и ctg x равны π.
• cos x — чётная функция; sin x и tg x — нечётные.
• Знаки функций определяются четвертью, в которой находится соответствующая точка единичной окружности.