§ 7. Тригонометрические функции числового аргумента 7

Определения и обозначения

Числовой аргумент — число x, которому на единичной окружности соответствует точка, полученная поворотом на x радиан. Единичная окружность имеет радиус 1 и центр в начале координат. Число определяет направление и величину поворота от начальной точки (1; 0). Так можно связать любое действительное число с точкой плоскости.

Синус числа x — ордината точки единичной окружности, соответствующей числу x. Ордината — вторая координата точки, показывающая её положение по вертикали. Поэтому, если точка имеет координаты (a; b), то sin x = b. Это определение позволяет находить синус не только у острых углов.

Косинус числа x — абсцисса точки единичной окружности, соответствующей числу x. Абсцисса является первой координатой и показывает положение точки по горизонтали. Для точки (a; b) получаем cos x = a. Вместе синус и косинус полностью задают координаты соответствующей точки.

Тангенс числа x — отношение sin x к cos x, а котангенс — отношение cos x к sin x: tg x = sin x / cos x, ctg x = cos x / sin x. Тангенс определён при cos x ≠ 0, а котангенс — при sin x ≠ 0. Эти ограничения нужны потому, что на ноль делить нельзя. Отношения позволяют выразить одну тригонометрическую функцию через другую.

Как это устроено

Чтобы сопоставить числу x точку, начинают с точки (1; 0) и поворачивают её вокруг центра окружности на x радиан. Положительному числу соответствует поворот против часовой стрелки, отрицательному — по часовой стрелке. После поворота точка остаётся на единичной окружности. Её горизонтальная координата становится cos x, а вертикальная — sin x.

Определения синуса и косинуса работают для любого действительного x, потому что поворот можно продолжать в любом направлении и на любую величину. Если x отрицательно, точка движется по часовой стрелке; если x больше 2π, она проходит полный оборот и продолжает движение. Числа, отличающиеся на полный оборот 2π, приводят к одной и той же точке. Поэтому значения синуса и косинуса для них совпадают.

Координаты любой точки единичной окружности удовлетворяют уравнению a² + b² = 1: это следует из теоремы Пифагора, поскольку расстояние от начала координат до точки равно радиусу, то есть 1. Подставим a = cos x и b = sin x. Получится основное тригонометрическое тождество sin² x + cos² x = 1. Оно верно для каждого действительного x и помогает находить одну из функций, когда известна другая.

Тангенс и котангенс являются дробями, поэтому их знаменатели не могут быть равны нулю. Косинус обращается в ноль в точках с абсциссой 0: это соответствует x = π/2 + πk, где k — любое целое число. Синус равен нулю в точках с ординатой 0, то есть при x = πk. Отсюда следуют области определения: для tg x исключают первый набор значений, а для ctg x — второй.

Полный оборот возвращает точку в исходное положение, поэтому синус и косинус повторяются через 2π. При повороте на π обе координаты меняют знак, но их отношение не меняется; отсюда период π у тангенса и котангенса. Отражение точки относительно оси абсцисс сохраняет абсциссу и меняет знак ординаты. Поэтому cos(−x) = cos x, а sin(−x) = −sin x; из отношений следует, что тангенс и котангенс тоже нечётные.

Основные свойства тригонометрических функций числового аргумента

В формулах таблицы k — любое целое число, а R обозначает множество действительных чисел. Чтобы проверить допустимость аргумента, сначала посмотрите на область определения и исключите значения, при которых функция не определена. Для решения задач также полезно сверять период, чётность и нули: они помогают преобразовывать выражения и проверять ответ.

Разбор задач

Задача 1. По точке единичной окружности с координатами (−√3/2; 1/2) найдите sin x и cos x для соответствующего числа x. Здесь не требуется вычислять сам аргумент: достаточно определить, какая координата отвечает каждой функции. В записи точки первое число — абсцисса, второе — ордината.

1. По определению cos x равен абсциссе точки, поэтому cos x = −√3/2.
2. По определению sin x равен ординате точки, поэтому sin x = 1/2.
3. Проверим согласованность координат: (−√3/2)² + (1/2)² = 3/4 + 1/4 = 1. Значит, точка действительно лежит на единичной окружности.

Ответ: sin x = 1/2, cos x = −√3/2.

Задача 2. Найдите tg x и ctg x, если sin x = 3/5, cos x = 4/5. По определениям нужно составить две дроби из данных значений. До вычисления проверим знаменатели: и 3/5, и 4/5 отличны от нуля, значит, обе функции определены.

1. Для тангенса делим синус на косинус: tg x = (3/5) / (4/5) = 3/4.
2. Для котангенса делим косинус на синус: ctg x = (4/5) / (3/5) = 4/3.
3. Проверка: произведение полученных значений равно 1, что согласуется с tg x · ctg x = 1, когда обе функции определены.

Ответ: tg x = 3/4, ctg x = 4/3.

Задача 3. Определите, какие из чисел sin(−x), cos(−x), tg(−x) равны соответствующим значениям при x, а какие отличаются знаком. Отрицание аргумента означает поворот в противоположном направлении. Точки, соответствующие x и −x, симметричны относительно оси абсцисс.

1. При такой симметрии абсцисса не меняется, а ордината меняет знак. Поэтому cos(−x) = cos x, но sin(−x) = −sin x.
2. Тангенс — отношение синуса к косинусу. При замене x на −x меняется знак числителя, но не знаменателя, поэтому tg(−x) = −tg x.
3. Проверим область определения: утверждение о тангенсе применимо, если cos x ≠ 0. В точках, где тангенс не определён, сравнивать его значения нельзя.

Ответ: cos(−x) = cos x; sin(−x) = −sin x и tg(−x) = −tg x.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что синус и косинус определены только для углов от 0 до 2π. Так происходит, когда свойства окружности вспоминают лишь для одного полного оборота. На самом деле аргумент может быть любым действительным числом, а дополнительные обороты приводят к повторению значений. Проверка: возьмите x = 2π + 1 — поворот возможен, и соответствующие синус и косинус определены.

Ошибка: менять местами синус и косинус, называя синус абсциссой, а косинус ординатой. Путаница возникает из-за запоминания слов без обращения к определению. Запишите координаты точки как (cos x; sin x): сначала идёт абсцисса, затем ордината. Проверка по основной окружности подтверждает: косинус — горизонтальная координата, синус — вертикальная.

Ошибка: считать tg x и ctg x определёнными при любом x. Эти функции являются отношениями, и при нулевом знаменателе соответствующая дробь не существует. Для тангенса проверьте, что cos x ≠ 0, для котангенса — что sin x ≠ 0. Например, tg(π/2) не определён, а ctg(0) не определён.

Ошибка: приписывать всем четырём функциям период 2π или путать периоды тангенса и котангенса с периодами синуса и косинуса. Полный оборот действительно возвращает точку, но тангенс и котангенс — отношения координат, и при повороте на π обе координаты меняют знак одновременно. Отношение при этом сохраняется, значит, их период равен π. Проверка: пользуйтесь равенствами sin(x + 2π) = sin x и tg(x + π) = tg x.

Связь с другими темами

Для понимания темы понадобятся знания о единичной окружности, координатах точки на плоскости и радианной мере угла. Координаты помогают прочитать значения синуса и косинуса, а радианы позволяют трактовать число как величину поворота. Уравнение окружности объясняет, почему выполняется основное тождество sin² x + cos² x = 1. Эти знания связывают геометрическое представление с вычислениями.

Тригонометрические функции числового аргумента становятся основой для изучения графиков, уравнений и неравенств. Периодичность помогает строить графики на повторяющихся промежутках, а чётность — использовать симметрию. Ограничения областей определения особенно важны при решении уравнений с тангенсом и котангенсом. Поэтому определения функций нужны не только для нахождения отдельных значений.

Что запомнить

• cos x и sin x — абсцисса и ордината соответствующей точки единичной окружности.
• sin² x + cos² x = 1.
• tg x = sin x / cos x при cos x ≠ 0.
• ctg x = cos x / sin x при sin x ≠ 0.
• sin x и cos x имеют период 2π; tg x и ctg x — период π.
• cos x — чётная функция, sin x, tg x и ctg x — нечётные.