§ 8. Тригонометрические функции углового аргумента

Определения и обозначения

Угловой аргумент — переменная x, задающая угол в радианах. Аргументом называют входное значение функции: по нему определяют соответствующую точку на окружности и значение тригонометрической функции. Радианная мера позволяет работать с углами как с действительными числами, в том числе отрицательными.

Синус углового аргумента — ордината точки единичной окружности, соответствующей углу x. Ордината — это вторая координата точки, поэтому её обозначают sin x. Такое определение помогает находить синус для углов, которые не являются острыми.

Косинус углового аргумента — абсцисса точки единичной окружности, соответствующей x. Абсцисса — первая координата точки, и её обозначают cos x. Вместе с синусом косинус задаёт обе координаты точки, поэтому позволяет полностью описать её положение на окружности.

Тангенс и котангенс — отношения tg x = sin x / cos x и ctg x = cos x / sin x. Тангенс определён, когда cos x ≠ 0, то есть при x ≠ π/2 + πk; котангенс определён, когда sin x ≠ 0, то есть при x ≠ πk, где k ∈ ℤ. Эти ограничения нужны, чтобы в знаменателе не оказался ноль.

Как это устроено

Единичная окружность имеет центр в начале координат и радиус 1. Угол x откладывают от положительного направления оси абсцисс: против часовой стрелки для положительного угла и по часовой — для отрицательного. Конечная точка поворота имеет координаты (cos x; sin x), поэтому координатное определение работает и для углов больше π/2, и для отрицательных углов. При добавлении полного оборота 2π конечная точка возвращается туда же, а координаты не меняются.

Для острого угла можно рассмотреть прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной радиусу единичной окружности, то есть 1. Вертикальная координата точки равна противолежащему катету, а горизонтальная — прилежащему, поскольку длины катетов соотносятся с гипотенузой по определениям синуса и косинуса. Поэтому координатные определения совпадают с привычными отношениями сторон треугольника. Окружность расширяет эти определения на остальные углы, для которых такой треугольник не даёт нужного описания.

Тангенс и котангенс определены через деление: tg x = sin x / cos x, ctg x = cos x / sin x. Делить на ноль нельзя, поэтому для тангенса исключают углы, при которых cos x = 0: x = π/2 + πk. Для котангенса исключают значения sin x = 0: x = πk, где k ∈ ℤ. Геометрически это те положения точки, в которых соответственно абсцисса или ордината равна нулю.

Поворот на 2π возвращает точку на прежнее место, поэтому sin(x + 2π) = sin x и cos(x + 2π) = cos x. Для тангенса и котангенса достаточно поворота на π: обе координаты меняют знак, но их отношение остаётся прежним. Значит, tg(x + π) = tg x и ctg(x + π) = ctg x. Наименьшие положительные периоды синуса и косинуса равны 2π, а тангенса и котангенса — π.

Знаки синуса и косинуса определяются знаками ординаты и абсциссы точки. В I четверти обе координаты положительны; во II синус положителен, а косинус отрицателен; в III оба отрицательны; в IV синус отрицателен, а косинус положителен. Тангенс и котангенс положительны, если sin x и cos x одного знака, и отрицательны, если знаки различаются. На осях отдельно проверяют, не обращается ли функция в ноль или не теряет ли она определённость.

Свойства тригонометрических функций углового аргумента

Чтобы воспользоваться таблицей, сначала проверьте область определения: это особенно важно для тангенса и котангенса. Затем по четверти установите знаки, а для поиска повторяющихся значений учитывайте период нужной функции. Нули и множество значений помогают быстро проверить, может ли полученный ответ быть верным.

Разбор задач

Задача 1

Условие: для угла x = 5π/6 определить знаки sin x, cos x, tg x и ctg x. Сначала нужно понять, где находится конечная точка поворота, а затем определить знаки её координат. Точное вычисление значений здесь не требуется.

1. Так как π/2 < 5π/6 < π, угол лежит во II четверти.
2. Во II четверти ордината положительна, поэтому sin x > 0; абсцисса отрицательна, поэтому cos x < 0.
3. Отношение чисел разных знаков отрицательно, значит, tg x < 0 и ctg x < 0. Оба отношения определены, так как при этом угле ни одна координата не равна нулю.

Ответ: sin x > 0, cos x < 0, tg x < 0, ctg x < 0.

Задача 2

Условие: точка единичной окружности, соответствующая углу x, имеет координаты (−√3/2; 1/2). Найти sin x, cos x, tg x и ctg x. Координаты сразу дают синус и косинус, а для двух остальных функций нужно применить определения отношений. Перед делением проверим, что знаменатели отличны от нуля.

1. Абсцисса равна −√3/2, поэтому cos x = −√3/2; ордината равна 1/2, поэтому sin x = 1/2.
2. Вычислим тангенс: tg x = (1/2)/(−√3/2) = −1/√3 = −√3/3.
3. Вычислим котангенс: ctg x = (−√3/2)/(1/2) = −√3. Оба деления допустимы, поскольку sin x и cos x не равны нулю.

Ответ: sin x = 1/2, cos x = −√3/2, tg x = −√3/3, ctg x = −√3.

Задача 3

Условие: найти все значения x на промежутке [0; 2π), при которых tg x = 1. Тангенс равен 1, когда синус и косинус равны и имеют одинаковый знак; основной подходящий угол — π/4. Поскольку период тангенса равен π, к этому углу нужно прибавлять целые кратные π, а затем отобрать значения из заданного промежутка.

1. Запишем общее решение: x = π/4 + πk, где k ∈ ℤ.
2. Для k = 0 получаем x = π/4, что принадлежит [0; 2π).
3. Для k = 1 получаем x = 5π/4, что также принадлежит промежутку. При k = −1 значение отрицательно, а при k = 2 оно больше 2π, поэтому других решений в промежутке нет.

Ответ: x = π/4 и x = 5π/4.

Типичные ошибки

Синус и косинус иногда считают функциями только острых углов, потому что сначала их изучают на прямоугольном треугольнике. Но единичная окружность задаёт точку для любого действительного x, поэтому обе функции имеют смысл при любом аргументе. Проверьте себя: если угол отрицательный или больше π/2, всё равно можно найти конечную точку поворота на окружности.

Часто путают координаты: записывают sin x как абсциссу, а cos x как ординату. Ошибка возникает из-за того, что обе величины связаны с одним и тем же углом. Запомните порядок координат точки (cos x; sin x) и проверяйте результат по осям: при x = 0 точка (1; 0), значит, cos 0 = 1, sin 0 = 0.

При вычислении tg x или ctg x можно забыть проверить знаменатель и попытаться разделить на ноль. Такое происходит, если формулы отношений применяют механически, не учитывая область определения. Перед вычислением проверьте условие: для tg x нужно cos x ≠ 0, для ctg x — sin x ≠ 0; запрещённые значения удобно сверять с таблицей.

Тангенсу и котангенсу иногда приписывают период 2π, потому что такой период есть у синуса и косинуса. Однако при прибавлении π обе координаты одновременно меняют знак, а отношение остаётся прежним, поэтому π уже является периодом. Для самопроверки сравните tg(x + π) с tg x или подставьте, например, π/4 и 5π/4: оба значения равны 1.

Связь с другими темами

Для работы с угловым аргументом нужны радианная мера угла, координатная плоскость и понятие единичной окружности. По четверти и знакам функций можно проверять преобразования и находить решения тригонометрических уравнений. Периодичность помогает упрощать выражения и отбирать корни на заданном промежутке. Координатные определения также становятся основой для построения и изучения графиков тригонометрических функций.

Что запомнить

• На единичной окружности cos x — абсцисса, а sin x — ордината точки.
• tg x = sin x / cos x, если cos x ≠ 0.
• ctg x = cos x / sin x, если sin x ≠ 0.
• Синус и косинус определены при всех действительных x и имеют значения от −1 до 1.
• Период синуса и косинуса равен 2π.
• Период тангенса и котангенса равен π.