§ 9. Формулы приведения

Определения и обозначения

Формулы приведения — равенства, которые выражают значение тригонометрической функции для угла вида kπ/2 ± α через функцию от угла α. Они позволяют заменить сложный аргумент более удобным и использовать табличные значения.

Угол приведения — угол α, к которому сводят исходный аргумент. Обычно выбирают острый или табличный угол, чтобы значение sin α, cos α, tg α или ctg α было легко найти.

Правило смены функции показывает, когда одна функция превращается в кофункцию. При сдвиге на нечётное число π/2 синус и косинус меняются местами, а тангенс и котангенс — друг с другом; это сокращает число формул, которые нужно запомнить.

Знак формулы приведения — знак результата, который находят по четверти исходного угла. Он показывает, будет ли полученное значение положительным или отрицательным, даже если значение функции от α само по себе положительно.

Как это устроено

На координатной окружности точке, соответствующей углу, имеют координаты (cos α; sin α). Поэтому косинус связан с горизонтальной координатой, а синус — с вертикальной. При повороте на π/2 координаты переставляются и одна из них меняет знак, что объясняет появление кофункции и знака в формулах приведения.

Работать с формулой удобно по порядку. Сначала представьте аргумент как kπ/2 ± α и выберите угол α. Затем решите, меняется ли функция, после чего определите четверть исходного угла и поставьте нужный знак.

Сдвиг на нечётное число π/2 означает поворот на 90° с дополнительными четвертями. При таком повороте горизонтальная и вертикальная координаты меняются ролями, поэтому sin превращается в cos, а tg — в ctg. Сдвиг на целое число π сохраняет вид координатной связи: синус остаётся синусом, косинус — косинусом, но после поворота на 180° их знаки меняются; у тангенса и котангенса при сдвиге на π знак сохраняется.

Знак ищут по исходному углу, то есть по всему выражению kπ/2 ± α. Например, π/2 + α при 0 < α < π/2 лежит во второй четверти, где синус положителен, а косинус отрицателен. Нельзя переносить знак функции от α на результат без проверки положения исходного угла.

Формулы для −α, π ± α и 2π ± α являются частными случаями общего правила. Они особенно удобны, когда аргумент уже близок к нулю, π или 2π. Если угол больше 2π, сначала используют периодичность функции, а затем приводят оставшийся аргумент к удобному α.

Формулы приведения для основных видов аргумента

Чтобы пользоваться таблицей, найдите в первом столбце вид исходного аргумента. В нужной строке сначала определите функцию, а затем проверьте, что знак соответствует четверти исходного угла. Для углов, не записанных в таблице, сначала выделите полный период или представьте аргумент в форме kπ/2 ± α.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите sin(π/2 + π/6).

Аргумент имеет вид π/2 + α, где α = π/6. Исходный угол равен 2π/3 и находится во второй четверти, поэтому синус положителен.

1. По правилу смены функции заменяем синус на косинус: sin(π/2 + α) = cos α.
2. Подставляем α = π/6: cos(π/6) = √3/2.
3. Знак уже совпадает со знаком синуса во второй четверти.

Ответ: √3/2.

Задача 2. Упростите cos(π − α) + tg(π + α).

Здесь два слагаемых имеют разные виды аргумента, поэтому каждое преобразуем отдельно. При сдвиге на π функция не меняется по названию, а знак устанавливаем по формулам строки π ± α.

1. Для первого слагаемого используем cos(π − α) = −cos α.
2. Для второго слагаемого используем tg(π + α) = tg α.
3. Подставляем результаты в исходную сумму: −cos α + tg α.

Ответ: tg α − cos α.

Задача 3. Вычислите выражение sin(7π/6) · cos(5π/4) / tg(−π/4).

Каждый аргумент сравним с ближайшим табличным углом. Так мы отдельно учитываем четверть и получаем три простых значения, после чего выполняем арифметические действия.

1. 7π/6 = π + π/6, поэтому sin(7π/6) = −sin(π/6) = −1/2.
2. 5π/4 = π + π/4, поэтому cos(5π/4) = −cos(π/4) = −√2/2.
3. По нечётности тангенса tg(−π/4) = −tg(π/4) = −1.
4. Подставляем: ((−1/2) · (−√2/2)) / (−1) = (√2/4) / (−1) = −√2/4.

Ответ: −√2/4.

Типичные ошибки

Смена функции при любом сдвиге. Так делают, когда запоминают только слово «сдвиг». Проверяйте: нечётное число π/2 меняет функцию, а целое число π сохраняет её вид.

Знак определяют по α. Угол α часто выбирают острым, поэтому его функции положительны, но исходный угол может оказаться во второй, третьей или четвёртой четверти. Всегда отметьте на окружности именно полный аргумент.

Путают π − α и π + α. В первом случае исходный угол обычно во второй четверти, во втором — в третьей, поэтому знаки различаются. Проверьте четверть и знак конкретной функции, а не только запомненную запись.

Сокращают аргумент без проверки области определения. Периодичность нельзя использовать так, чтобы потерять запрет на деление на ноль у тангенса или котангенса. Убедитесь, что исходное выражение определено: tg x не существует при x = π/2 + πk, а ctg x — при x = πk, k ∈ Z.

Связь с другими темами

Для формул приведения нужны координатная окружность, радианная мера угла и правила знаков функций в четвертях. Без них трудно объяснить происхождение знака и смену функции.

Формулы помогают быстро вычислять значения тригонометрических функций и упрощать выражения. Особенно полезны они, когда аргумент содержит π/2, π или 2π.

Позже эти преобразования используются при решении тригонометрических уравнений и преобразовании более сложных тригонометрических выражений. Умение приводить углы сокращает вычисления и уменьшает число ошибок.

Что запомнить

• Формулы приведения сводят аргумент к углу α.
• При сдвиге на нечётное число π/2 функция меняется на кофункцию.
• При сдвиге на целое число π вид функции не меняется, но знак может измениться.
• Знак результата определяют по четверти исходного угла.
• Значения синуса и косинуса угла α берут с учётом знака, заданного формулой приведения.
• Перед применением формулы проверьте, что исходное выражение определено.