"Математика. 10 класс. (базовый уровень)", Мордкович А.Г., Смирнова И.М.
Функция y = sin x каждому действительному числу x в радианах ставит в соответствие синус этого числа. Её график — периодическая волна, которая повторяется через 2π и принимает значения только от −1 до 1. Зная свойства синуса, можно строить график, находить его нули, максимумы и минимумы, а также решать простые тригонометрические уравнения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Синус — функция, которая каждому действительному аргументу x сопоставляет число sin x; здесь x измеряется в радианах. На единичной окружности синус угла равен ординате соответствующей точки. Такое представление позволяет определять синус не только острых углов, но и любого действительного числа.
Период функции — число T, при сдвиге аргумента на которое значения функции повторяются: f(x + T) = f(x) для всех x из области определения. Для синуса основной положительный период равен 2π. Знание периода помогает описать всю функцию по одному повторяющемуся участку её графика.
Функция называется нечётной, если для каждого x выполняется равенство f(−x) = −f(x). Синус нечётный, потому что sin(−x) = −sin x. Это свойство помогает находить значения для отрицательных аргументов и объясняет симметрию графика относительно начала координат.
Нуль функции — значение аргумента, при котором функция обращается в ноль. У синуса нули имеют вид x = πk, где k — любое целое число. Это обозначение собирает все нули в одну формулу и позволяет находить их на заданном промежутке.
Возьмём единичную окружность с центром в начале координат и отметим на ней точку, полученную поворотом на угол x. Её ордината и есть sin x, а длина окружности позволяет отсчитывать поворот в радианах. Если x выходит за пределы одного оборота, точка продолжает двигаться по окружности, поэтому синус остаётся определённым и после нескольких оборотов, в том числе при отрицательных x.
Любая точка единичной окружности находится на расстоянии 1 от начала координат, поэтому её координаты a и b удовлетворяют равенству a² + b² = 1. Отсюда каждая координата лежит между −1 и 1, значит, и ордината sin x не может выйти за эти границы. Верхняя точка окружности имеет ординату 1 и соответствует x = π/2 + 2πk, а нижняя имеет ординату −1 и соответствует x = −π/2 + 2πk.
При увеличении аргумента на 2π совершается полный оборот, и точка возвращается в исходное положение. Её ордината не меняется, поэтому sin(x + 2π) = sin x. Это объясняет периодичность графика и показывает, почему достаточно сначала построить один полный цикл, а потом повторять его в обе стороны.
Углам x и −x соответствуют точки, зеркально расположенные относительно горизонтальной оси окружности. У них одинаковые абсциссы, но противоположные ординаты, поэтому sin(−x) = −sin x. На графике замена x на −x меняет знак y, и каждой точке графика соответствует точка, симметричная ей относительно начала координат.
Для одного цикла удобно взять промежуток от 0 до 2π. В его начале синус равен 0, при π/2 достигает 1, при π снова равен 0, при 3π/2 достигает −1, а при 2π возвращается к нулю. Отметьте эти точки и соедините их плавной волной; периодичность позволяет продолжить кривую, повторяя тот же рисунок через каждые 2π.
Таблица собирает основные свойства синуса, которые нужны для чтения и построения графика. Формулы с k описывают не одно значение, а целые семейства значений: k принимает любые целые числа. При поиске решений на промежутке оставляют только те значения, которые в него попадают.
| Свойство | Значение или описание |
|---|---|
| Область определения | Все действительные числа |
| Множество значений | [−1; 1] |
| Основной период | 2π |
| Чётность | Нечётная |
| Нули | x = πk, k ∈ ℤ |
| Наибольшее значение | 1 при x = π/2 + 2πk |
| Наименьшее значение | −1 при x = −π/2 + 2πk |
При построении графика сначала отметьте значения из таблицы, а затем проверьте, что они повторяются с нужным периодом. Для решения задач полезно отдельно проверять, попадает ли найденный аргумент в заданный промежуток.
Задача 1. Найдите sin x при x = 0, π/2, π и 3π/2. Эти аргументы соответствуют основным точкам единичной окружности. Чтобы не перепутать синус с косинусом, считываем именно ординату точки.
Ответ: 0, 1, 0, −1 соответственно. Значения согласуются с движением по окружности: синус — вертикальная координата точки.
Задача 2. Найдите все нули функции y = sin x на промежутке [−2π; 2π]. Общая формула нулей — x = πk, где k — целое число. Нужно подобрать такие k, чтобы −2π ≤ πk ≤ 2π.
Ответ: −2π, −π, 0, π, 2π. Граничные точки включены, потому что промежуток задан квадратными скобками.
Задача 3. Решите sin x = −√3/2 на промежутке [0; 2π]. Сначала найдём углы, при которых модуль синуса равен √3/2: соответствующий острый угол равен π/3. Отрицательное значение означает, что ордината точки окружности ниже горизонтальной оси.
Ответ: x = 4π/3 и x = 5π/3. Проверка по окружности подтверждает, что в обоих случаях ордината равна −√3/2.
Ошибка: считать область определения отрезком [0; 2π]. Так происходит потому, что на этом отрезке часто показывают один полный цикл графика. Но аргумент может быть любым действительным числом, а сам цикл повторяется за пределами этого отрезка; проверка — вспомнить поворот на окружности больше чем на один оборот или в обратную сторону.
Ошибка: записывать множество значений как все действительные числа. Иногда область определения путают с тем, какие значения может принимать функция. Синус — ордината точки единичной окружности, поэтому проверьте ответ по координатам окружности: y всегда лежит между −1 и 1.
Ошибка: называть π периодом синуса. Путаница возникает из-за того, что нули расположены через π, однако промежуточные значения при таком сдвиге меняют знак: sin(x + π) = −sin x. Проверьте предполагаемый период подстановкой, например при x = π/2: значение 1 после сдвига на π становится −1, значит, период равен 2π, а не π.
Ошибка: считать синус абсциссой точки на единичной окружности. Причина — в смешении синуса с косинусом, который как раз задаёт абсциссу. Для проверки нарисуйте оси: sin x — вертикальная координата, cos x — горизонтальная.
Для работы с синусом нужны радианная мера угла, единичная окружность и значения синуса основных углов. Эти знания помогают понимать, откуда берутся значения функции, а не просто запоминать их. Свойства и график синуса затем используют при решении тригонометрических уравнений и неравенств. Они также служат основой для изучения косинуса и других тригонометрических функций.
Почему график синуса повторяется через 2π?
Числа x и x + 2π задают поворот на один и тот же угол с точностью до полного оборота. Поэтому соответствующие точки на единичной окружности совпадают, а их ординаты равны: sin(x + 2π) = sin x.
Почему синус не может быть больше 1 или меньше −1?
Значение sin x — это ордината точки на единичной окружности, то есть окружности радиуса 1. Координата любой её точки лежит от −1 до 1 включительно.
Как по графику найти нули функции y = sin x?
Нули — это точки, в которых график пересекает ось x, то есть где y = 0. Для синуса это x = πk, где k — целое число.
Почему функция синуса является нечётной?
На единичной окружности углам x и −x соответствуют точки с одинаковыми абсциссами и противоположными ординатами. Поэтому sin(−x) = −sin x, а график симметричен относительно начала координат.
Чем один период графика отличается от всей области определения функции?
Один период — это промежуток длины 2π, на котором функция проходит полный повторяющийся цикл. Область определения включает все действительные x: график продолжается бесконечно в обе стороны.
§ 10. Функция у = sin x, ее свойства и график
