§ 11. Функция у = cos х, ее свойства и график

Определения и обозначения

На единичной окружности радиус равен 1, а центр находится в начале координат. Угол x откладывают от положительного направления оси абсцисс; получившаяся точка имеет координаты (cos x; sin x). Значит, косинус числа x — это ордината точки окружности, соответствующей углу x. Это определение связывает косинус с координатами и позволяет находить его значения по геометрии окружности.

Функция y = cos x — соответствие, при котором каждому действительному числу x ставится в соответствие его косинус. Число x называют аргументом, а значение cos x — значением функции. Поскольку повернуться по окружности можно на любой угол, косинус существует при любом действительном x. Такое описание помогает отличать допустимые входные значения от результатов функции.

Период функции — ненулевое число T, при сдвиге аргумента на которое значения повторяются: f(x + T) = f(x) при всех x из области определения. Для косинуса наименьший положительный период равен 2π. Период показывает, через какое расстояние график повторяет прежнюю форму. Это позволяет строить график не целиком, а продолжать один и тот же участок.

Функция называется чётной, если для каждого x выполняется равенство f(−x) = f(x). У косинуса это равенство означает, что противоположные аргументы дают один результат. График чётной функции симметричен относительно оси y: каждой его точке соответствует точка на другой стороне оси с той же высотой. Эта симметрия упрощает построение графика и исследование значений при отрицательных x.

Как это устроено

Каждому действительному x соответствует поворот на угол x вокруг центра единичной окружности. После поворота точка остаётся на окружности, а её ордината и есть cos x. Поскольку окружность существует для поворота на любой угол, у косинуса нет запрещённых действительных аргументов. Ордината точки окружности не может быть больше 1 или меньше −1, поэтому все значения функции принадлежат отрезку [−1, 1].

Для построения графика сначала отмечают ключевые значения за один оборот. При x = 0 косинус равен 1, при π/2 — 0, при π — −1, при 3π/2 — 0, а при 2π снова равен 1. Эти точки соединяют плавной волной: между ними косинус непрерывно меняется, проходя от максимума к минимуму и обратно. Затем такой участок повторяют влево и вправо, потому что значение функции возвращается через каждые 2π.

При увеличении угла на 2π точка окружности совершает полный оборот и попадает туда же, откуда начала движение. Следовательно, её ордината не меняется: cos(x + 2π) = cos x. Но сдвиг на π даёт только половину оборота: точка оказывается напротив исходной, и ордината меняет знак. Поэтому π не является периодом; ключевые точки и повторение графика показывают, что наименьший положительный период именно 2π.

Углы x и −x задают точки, зеркально расположенные относительно оси абсцисс. У таких точек одинаковые абсциссы, то есть cos(−x) = cos x. Поэтому для любой точки графика с аргументом x есть симметричная точка с аргументом −x и той же высотой. Так равенство для косинуса превращается в симметрию его графика относительно оси y.

Ординаты точек окружности дают множество значений [−1, 1], а пересечения графика с осью x показывают нули: x = π/2 + πk, где k — целое число. По направлению волны видно, что в каждом периоде косинус возрастает от −1 до 1 на [−π + 2πk, 2πk] и убывает от 1 до −1 на [2πk, π + 2πk]. Высшая точка каждой волны имеет значение 1 при x = 2πk, низшая — значение −1 при x = π + 2πk. Окружность объясняет эти результаты геометрически, а график помогает увидеть, как они повторяются на всей числовой прямой.

Свойства функции y = cos x

Буква k в таблице обозначает любое целое число, поэтому формулы описывают все повторения свойств, а не только первый период. Сначала определите, какое свойство требуется найти, а затем подставьте подходящее целое k. Для конкретного отрезка оставьте только те значения аргумента, которые в него входят.

Разбор задач

Задача 1. Найдите cos x, если x = 0, π/2, π и 3π/2. Чтобы не угадывать знаки, отметим на единичной окружности соответствующие точки и возьмём их ординаты. Координаты сразу дают искомые значения, а ключевые точки графика служат проверкой.

1. При x = 0 точка находится в (1; 0), поэтому cos 0 = 0.
2. При x = π/2 точка находится в (0; 1), поэтому cos(π/2) = 1.
3. При x = π точка находится в (−1; 0), поэтому cos π = 0.
4. При x = 3π/2 точка находится в (0; −1), поэтому cos(3π/2) = −1.

Ответ: 0, 1, 0, −1 соответственно. Здесь виден полезный ориентир: косинус — именно ордината точки, поэтому, например, при x = 0 он равен нулю.

Задача 2. Решите уравнение cos x = 1/2 на отрезке [−π, 2π]. На окружности ордината 1/2 достигается в двух положениях за полный оборот: при углах π/3 и 5π/3. Запишем решения с учётом периода, а затем отберём те, которые попадают в заданный отрезок.

1. Основные решения можно записать как x = π/3 + 2πk или x = 5π/3 + 2πk, где k ∈ Z.
2. Из первой серии на отрезок попадают π/3 при k = 0 и −5π/3 при k = −1; последнее число меньше −π, поэтому его исключаем.
3. Из второй серии подходит 5π/3 при k = 0. При k = −1 получаем −π/3, которое также лежит на отрезке.
4. Проверяем границы: при x = −π и x = 2π косинус не равен 1/2, новых решений нет.

Ответ: x = π/3 и x = 5π/3. Отбор по отрезку обязателен: общее решение уравнения задаёт бесконечно много углов, а условию задачи удовлетворяют только некоторые из них.

Задача 3. Постройте график функции y = cos(x − π/2) и укажите её нули на отрезке [0, 2π]. Выражение x − π/2 означает, что вместо аргумента x в косинус подставили число, уменьшенное на π/2. Значит, график y = cos x сдвигается вправо на π/2; нули удобнее найти подстановкой в формулу нулей косинуса.

1. Отметьте ключевые точки сдвинутого графика: (π/2; 1), (π; 0), (3π/2; −1), (2π; 0), а также (0; −1).
2. Соедините их плавной волной. Форма сохраняется, потому что сдвиг меняет положение графика, но не его высоту и период.
3. Для нулей решите cos(x − π/2) = 0. Косинус равен нулю, когда его аргумент равен π/2 + πk.
4. Получаем x − π/2 = π/2 + πk, откуда x = π + πk. На отрезке [0, 2π] подходят k = 0 и k = 1.

Ответ: нули — x = π и x = 2π. Сравнение с графиком подтверждает, что обе точки лежат на оси x.

Типичные ошибки

Считать периодом π. Так можно решить, заметив, что на графике косинуса есть повторяющиеся участки, но не проверив равенство для всех x. При сдвиге на π точка окружности становится противоположной, поэтому cos(x + π) = −cos x, а не cos x. Проверка на x = 0 сразу показывает ошибку: cos 0 = 1, но cos π = −1.

Путать косинус с абсциссой точки. Путаница возникает потому, что и косинус, и координаты точки задаются одной окружностью. По определению cos x — ордината, а абсцисса соответствует sin x. Проверьте себя на угле 0: точка (1; 0), поэтому cos 0 = 0, а не 1.

Записывать область определения как [−1, 1]. Этот отрезок получается из ограничения на ординату точки окружности, поэтому он задаёт множество значений функции, а не возможные x. Косинус можно вычислить при любом действительном аргументе. Чтобы проверить запись, отдельно спросите себя, какие числа можно подставить и какие ответы могут получиться.

Указывать только два нуля: π/2 и 3π/2. Эти значения показывают нули на одном обороте, но функция продолжается в обе стороны и повторяется. Поэтому полная запись имеет вид x = π/2 + πk, где k ∈ Z. Подстановка любого целого k добавляет очередное пересечение графика с осью x и помогает не потерять решения.

Связь с другими темами

Для работы с косинусом нужны знания об единичной окружности, радианной мере угла и определении косинуса угла. Без них трудно объяснить, откуда берутся знаки и значения в ключевых точках графика. Освоив период, нули и поведение графика, проще решать тригонометрические уравнения и неравенства. Те же приёмы помогают исследовать преобразованные функции, например графики, полученные сдвигом или изменением аргумента.

Что запомнить

• Функция y = cos x определена при всех действительных x.
• Множество значений косинуса — [−1, 1].
• Наименьший положительный период функции равен 2π.
• Косинус — чётная функция: cos(−x) = cos x.
• Нули функции имеют вид x = π/2 + πk, где k ∈ Z.
• Максимум равен 1, минимум равен −1.