"Математика. 10 класс. (базовый уровень)", Мордкович А.Г., Смирнова И.М.
Период функции — это ненулевой сдвиг аргумента, после которого значения функции повторяются при любом допустимом x. Синус и косинус связаны с координатами точки на единичной окружности: полный оборот возвращает её на прежнее место. Поэтому обе функции повторяются через 2π, а все их периоды имеют вид 2πk, где k — ненулевое целое число. Понимание периодичности помогает читать графики и решать уравнения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Период функции — ненулевое число T, для которого f(x + T) = f(x) при всех допустимых x. Например, если T подходит, значения функции повторяются не в одной точке, а при любом сдвиге аргумента на T. Это определение позволяет проверять, действительно ли график воспроизводится целиком.
Периодичность функции — свойство функции иметь хотя бы один период. Иными словами, у периодической функции можно найти ненулевой сдвиг, после которого её значения повторяются. Это свойство помогает распознавать повторяющиеся процессы и описывать их графики.
Наименьший положительный период — наименьший из положительных периодов функции. У функции могут быть и другие периоды, но этот показывает минимальный шаг повторения вправо по оси x. Его удобно использовать, чтобы описать один полный цикл графика.
Все периоды синуса и косинуса — числа вида 2πk, где k — целое ненулевое число. Здесь k может быть положительным или отрицательным, а ноль исключён, поскольку период по определению ненулевой. Это описание даёт не только один период, но и все возможные сдвиги, возвращающие значения функций.
Синус и косинус угла можно представить через координаты точки на единичной окружности: cos x — её абсцисса, а sin x — ордината. Угол x задаёт поворот от начальной точки окружности, а координаты показывают положение точки после этого поворота. Поэтому изменение аргумента можно понимать как дополнительный поворот.
Угол 2π соответствует полному обороту. После него точка возвращается туда, откуда начала движение, так что обе её координаты остаются прежними. Следовательно, sin(x + 2π) = sin x и cos(x + 2π) = cos x при любом x, то есть 2π — период обеих функций.
Поворот на π — только половина полного оборота. Точка оказывается на противоположной стороне окружности, где обе координаты имеют значения, противоположные исходным. Поэтому sin(x + π) = −sin x и cos(x + π) = −cos x; это не равенство периодичности, кроме отдельных точек, где значение равно нулю.
Других периодов, кроме 2πk, у синуса и косинуса нет. Например, если T — период косинуса, то cos(x + T) = cos x для любого x. При x = 0 получаем cos T = 1, а на единичной окружности абсцисса равна 1 только после полного числа оборотов, значит, T = 2πk; аналогично для синуса. Здесь k — целое число, причём k ≠ 0, а наименьший положительный период получается при k = 1 и равен 2π.
На графике это видно как повторение одинаковых волн: участок длиной 2π воспроизводится при сдвиге вправо или влево на 2π. При этом часть волны, где функция возрастает или убывает, не является периодом: она описывает изменение на выбранном отрезке, а не сдвиг всего графика. На рисунке показаны синус и косинус на промежутке от −2π до 2π, то есть по два полных периода каждой функции.
| Свойство | y = sin x | y = cos x |
|---|---|---|
| Область определения | Все действительные числа | Все действительные числа |
| Множество значений | [−1; 1] | [−1; 1] |
| Основное равенство периодичности | sin(x + 2π) = sin x | cos(x + 2π) = cos x |
| Все периоды | 2πk, k ∈ Z, k ≠ 0 | 2πk, k ∈ Z, k ≠ 0 |
| Наименьший положительный период | 2π | 2π |
| Значение при увеличении аргумента на π | sin(x + π) = −sin x | cos(x + π) = −cos x |
Сначала проверьте область определения и множество значений, затем сравните формулы сдвига на 2π и на π. Строки «Все периоды» и «Наименьший положительный период» отвечают на разные вопросы: первая перечисляет сдвиги, а вторая указывает самый маленький положительный.
Нужно проверить равенство для произвольного аргумента, а затем применить его к выражению из условия. Для этого удобно воспользоваться основным равенством периодичности синуса. После проверки останется вычислить значение в точке π/6.
Ответ: 2π — период функции; sin(π/6 + 2π) = 1/2.
Периоды слагаемых подсказывают, что 2π является периодом их суммы, но сами по себе не доказывают, что меньшего периода нет. Поэтому преобразуем сумму в одну тригонометрическую функцию и используем сведения обо всех её периодах. Это позволяет проверить наименьший шаг, а не просто предъявить подходящий.
Ответ: наименьший положительный период функции равен 2π.
Пусть T — период косинуса, тогда равенство cos(x + T) = cos x должно выполняться для всех x. Подставим несколько значений аргумента, чтобы получить условия на cos T и sin T. Они покажут, какое положение на окружности возможно после поворота на T.
Ответ: все периоды косинуса — T = 2πk, k ∈ Z, k ≠ 0.
Считать π периодом синуса или косинуса — ошибка: половина оборота переводит точку окружности в противоположную, и значения меняют знак. Так думают, потому что замечают поворот на π, но забывают сравнить координаты до и после него. Проверьте формулу при x = 0: sin π = 0 совпадает с sin 0, но cos π = −1 не совпадает с cos 0 = 1, а для периода равенство должно работать при всех x.
Нельзя объявлять число периодом только потому, что значения совпали в одной или нескольких точках. Такие совпадения могут быть случайными, тогда как определение требует f(x + T) = f(x) для каждого допустимого x. Проверяйте общее равенство с переменной x, а не отдельные числовые подстановки.
Промежуток, на котором график возрастает или убывает, не равен периоду. Его принимают за период, если смотрят только на один участок волны, но период должен возвращать весь график к прежнему виду при сдвиге. Чтобы проверить себя, проследите, повторяются ли все точки графика после выбранного сдвига.
Указывать только 2π как единственный период — неполный ответ. Это наименьший положительный период, но подходят также его ненулевые целые кратные, в том числе отрицательные. Если спрашивают все периоды, запишите 2πk, k ∈ Z, k ≠ 0.
Для понимания темы нужны единичная окружность, радианная мера угла и определения синуса и косинуса: именно они объясняют, почему поворот связан с координатами. Формулы сложения и приведения помогают доказывать равенства при сдвиге аргумента и находить периоды составных выражений. Позже периодичность пригодится при чтении графиков преобразованных тригонометрических функций, решении тригонометрических уравнений и описании повторяющихся процессов, например колебаний.
Почему период синуса равен 2π, а не π?
Поворот на π — это половина оборота, поэтому точка единичной окружности переходит в противоположную. Обе координаты меняют знак: sin(x + π) = −sin x и cos(x + π) = −cos x. Значит, значения обычно не повторяются.
Может ли у функции быть несколько периодов?
Да. Если T — период, то его целые кратные тоже являются периодами. У синуса и косинуса все периоды — 2πk, где k — ненулевое целое число; среди положительных периодов есть наименьший — 2π.
Как доказать, что число является периодом функции?
Нужно подставить x + T вместо аргумента и доказать равенство f(x + T) = f(x) для всех допустимых x. Совпадения значений в нескольких выбранных точках недостаточно.
Почему 4π тоже является периодом синуса и косинуса?
Число 4π — это два полных оборота, то есть 2π · 2. Поэтому sin(x + 4π) = sin x и cos(x + 4π) = cos x для любого x.
Как отличить период функции от промежутка её монотонности?
Период — это горизонтальный сдвиг, после которого повторяется весь график. Промежуток монотонности — участок, где функция только возрастает или только убывает; на таком участке график не обязан повторяться.
§ 12. Периодичность функций у = sin х, у = cos х
