"Математика. 10 класс. (базовый уровень)", Мордкович А.Г., Смирнова И.М.
Графики синуса, косинуса, тангенса и котангенса можно строить не с нуля, а преобразовывать из уже известных. Переносы, растяжения, сжатия и отражения помогают быстро увидеть, как меняются положение и форма графика, его период, значения и асимптоты. Главное — различать действие коэффициента снаружи функции и коэффициента внутри аргумента: они меняют график по-разному.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Преобразование графика — изменение его положения, размеров или направления по сравнению с исходным графиком. Например, из y = sin x можно получить график, сдвинув его или изменив его масштаб. Это понятие помогает строить новые графики, опираясь на уже знакомые, а не вычислять множество точек заново.
Параллельный перенос — сдвиг графика вверх, вниз, вправо или влево без изменения его формы. При вертикальном переносе меняются значения y, а при горизонтальном — положения точек по оси x. Такой перенос нужен, чтобы быстро определить, где окажутся характерные точки и линии графика.
Растяжение и сжатие графика — изменение его масштаба по вертикали или горизонтали. При вертикальном изменении меняются ординаты точек, а при горизонтальном — их абсциссы. По масштабу можно определить, насколько изменятся высота колебаний синуса или длина периода.
Осевая симметрия графика — отражение графика относительно оси координат или другой линии. При отражении относительно оси x меняются знаки ординат, а относительно оси y — знаки абсцисс. Это позволяет учитывать минусы в формуле и не путать их с переносами.
В формуле y = f(x) + b число b прибавляется к каждому значению функции. Поэтому точка (x; f(x)) превращается в точку (x; f(x) + b): абсцисса остаётся прежней, а ордината меняется на одну и ту же величину. Все точки поднимаются или опускаются одинаково, расстояния между ними сохраняются, поэтому форма графика не меняется.
В формуле y = f(x − a) новое значение функции совпадает со старым в точке, где x − a равно прежней абсциссе. Если исходная точка имела абсциссу t, то для её появления нужно взять x = t + a. Поэтому график сдвигается вправо на a, хотя в аргументе стоит знак минус; выражение f(x + a), наоборот, даёт сдвиг влево.
Коэффициент A перед функцией меняет ординаты: точка (x; y) переходит в (x; Ay). При |A| > 1 график растягивается по вертикали, а при 0 < |A| < 1 сжимается. Коэффициент k при x действует на абсциссы иначе: чтобы аргумент kx достиг прежнего значения t, нужно x = t/k, поэтому горизонтальный масштаб меняется обратно пропорционально |k|; период синуса и косинуса становится 2π/|k|, тангенса и котангенса — π/|k|.
Знак минус перед функцией меняет каждую ординату на противоположную: (x; y) переходит в (x; −y), и получается отражение относительно оси x. Если минус стоит у аргумента, f(−x), то меняется знак абсциссы: (x; y) соответствует точке (−x; y), поэтому отражение происходит относительно оси y. Оба правила сохраняются для тригонометрических функций, хотя некоторые графики из-за собственной симметрии могут выглядеть после отражения так же.
Для графиков вида y = A·sin(ωx + φ) + B и y = A·cos(ωx + φ) + B сначала выносят ω из аргумента: ωx + φ = ω(x + φ/ω). Так находят горизонтальный сдвиг −φ/ω, период 2π/|ω|, вертикальный масштаб |A| и перенос на B; отрицательное A добавляет отражение относительно оси x. Для тангенса и котангенса применяют те же действия, но их период равен π/|ω|, а при построении обязательно учитывают асимптоты.
Таблица связывает запись функции с тем, что происходит с её графиком. В строках о переносе и масштабе можно подставлять вместо f любую тригонометрическую функцию. Для сложного выражения сначала выделите преобразования внутри аргумента, затем разберите коэффициент перед функцией и число в конце.
| Преобразование | Формула | Изменение графика | Изменение параметров тригонометрической функции |
|---|---|---|---|
| Вертикальный перенос | y = f(x) + b | Вверх на b при b > 0, вниз при b < 0 | Средняя линия синуса или косинуса становится y = b |
| Горизонтальный перенос | y = f(x − a) | Вправо на a; f(x + a) — влево | Период не меняется, характерные точки сдвигаются |
| Растяжение или сжатие по вертикали | y = A·f(x) | Ординаты умножаются на |A| | Амплитуда синуса и косинуса становится |A| |
| Растяжение или сжатие по горизонтали | y = f(kx) | Абсциссы делятся на |k| | Период делится на |k| |
| Отражение относительно оси x | y = −f(x) | Ординаты меняют знак | График переворачивается относительно оси x |
| Отражение относительно оси y | y = f(−x) | Абсциссы меняют знак | График отражается относительно оси y |
| Комбинация нескольких преобразований | y = A·f(k(x − a)) + b | Масштаб, отражение и переносы применяются вместе | Период зависит от |k|, вертикальные значения — от A и b |
Задача 1. Построить y = sin(x − π/3) + 2 и указать преобразования графика y = sin x.
Ответ: сдвиг вправо на π/3 и вверх на 2; множество значений — [1; 3], период — 2π.
Задача 2. Исследовать y = −2cos(3x + π/2) − 1: найти амплитуду, период, фазовый сдвиг и множество значений.
Ответ: амплитуда 2, период 2π/3, фазовый сдвиг −π/6 (влево на π/6), множество значений [−3; 1].
Задача 3. Построить y = 2tg(x − π/4) − 1, найти период, вертикальные асимптоты и промежутки монотонности.
Ответ: период π; асимптоты x = 3π/4 + πk, k ∈ Z; функция возрастает на каждом промежутке (−π/4 + πk; 3π/4 + πk), k ∈ Z.
Ошибка: считать, что f(x − a) сдвигает график влево. Её допускают, ориентируясь только на знак минус, но положение точки определяется уравнением x − a = t, откуда x = t + a. Проверка: подставьте в новую формулу абсциссу точки исходного графика и найдите, при каком x аргумент станет прежним.
Ошибка: при y = f(kx) умножать абсциссы на k. Внутренний коэффициент влияет на координаты обратно: kx = t даёт x = t/k. Проверить себя можно по периоду: у синуса он должен стать 2π/|k|, а не 2π|k|.
Ошибка: забывать о отражении при отрицательном коэффициенте перед функцией или при отрицательном множителе аргумента. Минус перед функцией меняет знаки y, а минус у x — знаки x; путаница возникает, когда оба случая называют просто «отражением». Для проверки возьмите характерную точку и проследите, какая именно координата меняет знак.
Ошибка: переносить асимптоты тангенса или котангенса так, будто при сдвиге меняется период. Обычно это происходит из-за смешения сдвига и горизонтального масштаба. Запишите уравнение исходных асимптот, подставьте преобразованный аргумент и решите его; расстояние между соседними асимптотами должно остаться равным периоду, если коэффициент при x не менялся.
Для построения преобразованных графиков нужно знать форму и свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса, включая периоды и асимптоты. Также пригодится умение выносить коэффициент из линейного аргумента и находить его нули и значения. Эти навыки используются при решении тригонометрических уравнений и неравенств, а также при описании гармонических колебаний, где амплитуда, период и сдвиг имеют прикладной смысл.
Почему график y = sin(x − a) сдвигается вправо, а не влево?
Точка исходного графика с абсциссой t получает новое значение при x − a = t, то есть при x = t + a. Поэтому каждая точка перемещается вправо на a. Например, sin(x − π/3) сдвигается вправо на π/3.
Как быстро определить период функции y = sin(kx + b)?
Вынесите k из аргумента: kx + b = k(x + b/k). Период синуса равен 2π/|k|, если k ≠ 0; число b сдвигает график, но на период не влияет.
В каком порядке выполнять преобразования сложного графика?
Сначала удобно привести аргумент к виду ω(x − a), чтобы определить горизонтальный сдвиг и масштаб. Затем учесть отражение и вертикальное растяжение через коэффициент A, а в конце выполнить перенос на B по вертикали. Можно выбрать другой порядок, если строго отслеживать, к каким координатам относится каждое действие.
Как изменяются асимптоты тангенса при горизонтальном сдвиге?
Асимптоты перемещаются вместе с графиком: у tg(x − a) они задаются уравнением x − a = π/2 + πk. Значит, x = a + π/2 + πk, а расстояние между соседними асимптотами и период π сохраняются.
Можно ли построить график преобразованной функции только по нескольким точкам исходного графика?
Да, если выбрать точки, которые показывают характерные особенности графика: экстремумы и нули синуса и косинуса, а также нули и асимптоты тангенса или котангенса. Перенесите каждую точку по правилам преобразования и соедините их с учётом формы графика. Для периодических функций полезно повторить построенный фрагмент с нужным периодом.
§ 13. Преобразования графиков тригонометрических функций
