§ 14. Функции у = tg x, у = ctg x, их свойства и графики

Определения и обозначения

Функцией тангенс называют отношение синуса угла к его косинусу: tg x = sin x / cos x, если cos x ≠ 0. Поэтому область определения тангенса — все действительные числа, кроме x = π/2 + πk, где k ∈ Z. Исключённые значения понадобятся, когда мы будем отмечать места разрывов и асимптоты графика.

Функцией котангенс называют отношение косинуса угла к его синусу: ctg x = cos x / sin x, если sin x ≠ 0. Её область определения — все действительные числа, кроме x = πk, где k ∈ Z. Это ограничение помогает сразу находить точки, в которых функция не существует.

Период функции — число, при прибавлении которого к аргументу значение функции повторяется. Например, у тангенса tg(x + π) = tg x, а у котангенса ctg(x + π) = ctg x. Период позволяет изучить участок графика длины π и перенести его вправо или влево.

График функции — множество точек с координатами (x; y), где y равно значению функции при x. Для построения графиков тангенса и котангенса отмечают нули и места, где функция не определена, а затем учитывают периодичность и направление изменения ветвей. Так свойства функции превращаются в понятный план построения.

Как это устроено

На единичной окружности координаты точки, соответствующей углу x, равны (cos x; sin x). Тангенс — отношение второй координаты к первой, поэтому tg x = sin x / cos x; котангенс — отношение первой ко второй, ctg x = cos x / sin x. Если знаменатель обращается в ноль, отношение не существует: cos x = 0 при x = π/2 + πk, а sin x = 0 при x = πk. Так появляются исключённые значения аргумента и области определения.

Синус и косинус при прибавлении π меняют знак: sin(x + π) = −sin x и cos(x + π) = −cos x. В отношениях для тангенса и котангенса оба минуса сокращаются, поэтому значения повторяются уже через π, а не только через 2π. Меньшего положительного периода нет: на каждом промежутке между соседними асимптотами каждая функция проходит все действительные значения ровно по одному разу.

Знак тангенса совпадает со знаком отношения sin x к cos x: он положителен там, где синус и косинус одного знака, и отрицателен там, где знаки различны. Для котангенса действует тот же принцип, поскольку меняется порядок числителя и знаменателя, но знак отношения остаётся тем же. При приближении к углу, где знаменатель стремится к нулю, а числитель не равен нулю, отношение может становиться сколь угодно большим по модулю. Поэтому обе функции принимают все действительные значения.

Нули тангенса находятся там, где sin x = 0 и cos x ≠ 0, то есть при x = πk; его вертикальные асимптоты — x = π/2 + πk. У котангенса нули возникают при cos x = 0, то есть x = π/2 + πk, а асимптоты — при sin x = 0, то есть x = πk. Вертикальная асимптота — прямая, к которой ветвь графика неограниченно приближается; сама функция в соответствующей точке не определена.

Для построения отметьте на оси x асимптоты и нули, изобразите ветвь между соседними асимптотами и повторите её с шагом π. Тангенс на каждой такой ветви возрастает: при x₁ < x₂ внутри одного промежутка разность tg x₂ − tg x₁ положительна, поскольку sin(x₂ − x₁) > 0, а cos x₁ и cos x₂ имеют одинаковый знак. Для котангенса разность ctg x₂ − ctg x₁ отрицательна, поэтому он убывает. Через асимптоту график не проводят: по разные стороны от неё находятся отдельные ветви.

Свойства функций y = tg x и y = ctg x

Таблица помогает проверить область определения и найти нужные точки перед построением графика или решением уравнения. В формулах k — любое целое число, поэтому указанные нули и асимптоты повторяются бесконечно. Для знака учитывайте промежуток, а не только ближайший нуль: значения функции меняются при переходе через нули и асимптоты.

Разбор задач

Задача 1. Найти область определения функции y = tg(2x − π/3). Аргумент тангенса должен отличаться от π/2 + πk, иначе знаменатель cos(2x − π/3) станет нулём. Сначала составим условие для аргумента, затем решим его относительно x. Так мы найдём все запрещённые значения, а остальные числа войдут в область определения.

1. Запишем ограничение: 2x − π/3 ≠ π/2 + πk, k ∈ Z.
2. Прибавим π/3 к обеим частям: 2x ≠ 5π/6 + πk.
3. Разделим на 2: x ≠ 5π/12 + πk/2.

Ответ: D(y) = {x ∈ R | x ≠ 5π/12 + πk/2, k ∈ Z}. Исключённые значения получены из условия нуля косинуса аргумента, а не из условия нуля самого тангенса. Подстановка найденных x в аргумент даёт π/2 + πk, что проверяет результат.

Задача 2. Построить график y = ctg x на промежутке от −π до π. У котангенса асимптоты стоят в точках x = πk, а нули — при x = π/2 + πk. Сначала обозначим эти точки, чтобы не соединить части графика через места, где функция не определена. Затем используем убывание ветвей и период π.

1. На заданном промежутке отметим асимптоты x = −π, 0, π; крайние точки промежутка тоже являются местами, где котангенс не определён.
2. Отметим нули: x = −π/2 и x = π/2.
3. На каждом интервале (−π; 0) и (0; π) нарисуем убывающую ветвь: от больших положительных значений у левой асимптоты к большим отрицательным у правой.
4. Проверим расположение нулей: каждая ветвь пересекает ось x посередине своего интервала.

Ответ: на (−π; 0) и (0; π) расположены две убывающие ветви, проходящие соответственно через (−π/2; 0) и (π/2; 0). В точках −π, 0 и π графика нет; прямые x = −π, x = 0 и x = π являются вертикальными асимптотами. Для продолжения графика за границы промежутка достаточно повторять ветви через π.

Задача 3. Решить уравнение tg x = −1 на промежутке [−π; 2π]. Угол, тангенс которого равен −1, можно найти по значениям на единичной окружности: например, tg(−π/4) = −1. Поскольку период тангенса равен π, все решения получаются прибавлением πk. После этого оставим только решения из указанного промежутка.

1. Запишем общее решение: x = −π/4 + πk, k ∈ Z.
2. Подставим в границы: −π ≤ −π/4 + πk ≤ 2π.
3. Прибавим π/4: −3π/4 ≤ πk ≤ 9π/4.
4. Разделим на π: −3/4 ≤ k ≤ 9/4. Целые значения k: 0, 1, 2.
5. Найдём корни: −π/4, 3π/4, 7π/4.

Ответ: x = −π/4; 3π/4; 7π/4. Проверка границ показывает, что все три числа принадлежат отрезку [−π; 2π], а следующие корни уже выходят за его пределы. При записи общего решения важно использовать период π, а не 2π.

Типичные ошибки

Область определения тангенса иногда записывают как все действительные числа, забывая значения x = π/2 + πk. Ошибка возникает, если смотреть только на периодичность и не проверять знаменатель формулы tg x = sin x / cos x. Для самопроверки подставьте исключённые углы: косинус равен нулю, значит частное не существует.

Нулями котангенса ошибочно называют x = π/2 + πk, принимая нули знаменателя за нули функции. Но ctg x = cos x / sin x обращается в ноль, когда нулю равен числитель, то есть cos x = 0. Проверьте ответ подстановкой: знаменатель синуса в этих точках не равен нулю, а само отношение равно нулю.

Период тангенса и котангенса иногда считают равным 2π, потому что таким периодом обладают синус и косинус. Однако у функций рассматриваются отношения, и при сдвиге на π оба числа меняют знак, не меняя значения частного. Проверить период можно по формулам tg(x + π) = tg x и ctg(x + π) = ctg x.

Ветви графика нельзя соединять через вертикальную асимптоту, даже если они нарисованы близко друг к другу. Асимптота соответствует значению, где функция не определена, а по сторонам от неё функция не непрерывна и значения могут неограниченно возрастать или убывать. Проверьте область определения и рисуйте отдельную ветвь на каждом промежутке между соседними асимптотами.

Связь с другими темами

Для изучения тангенса и котангенса нужно знать синус и косинус, единичную окружность и знаки тригонометрических функций в четвертях. Период синуса и косинуса помогает понять периодичность отношений, а координаты точки на окружности — найти знаки и значения функций. Эти знания служат опорой при построении графиков и поиске нулей.

Тангенс и котангенс применяются при решении тригонометрических уравнений и неравенств: их периодичность помогает записать все решения, а графики — увидеть промежутки, где выполняется условие. Позже эти функции встретятся при изучении производных и других способов исследования графиков. Умение читать асимптоты и монотонность пригодится и для анализа более сложных функций.

Что запомнить

• tg x = sin x / cos x; область определения: x ≠ π/2 + πk.
• ctg x = cos x / sin x; область определения: x ≠ πk.
• Наименьший положительный период tg x и ctg x равен π.
• Нули tg x — x = πk; нули ctg x — x = π/2 + πk.
• Асимптоты tg x: x = π/2 + πk; асимптоты ctg x: x = πk.
• Тангенс возрастает, а котангенс убывает на каждом промежутке непрерывности.