§ 15. Арккосинус. Решение уравнения cost = а

Определения и обозначения

Арккосинус числа a — число из отрезка [0; π], косинус которого равен a; его обозначают arccos a. Это определение задаёт способ восстановить угол по значению его косинуса. Оно пригодится, когда нужно найти конкретный угол или начать решать тригонометрическое уравнение.

Главное значение арккосинуса — единственное значение arccos a из промежутка [0; π]. Слово «главное» указывает, что выбирается не любой угол с нужным косинусом, а один заранее установленный. Благодаря этому запись arccos a всегда обозначает однозначное число.

Уравнение cos t = a — тригонометрическое уравнение, в котором требуется найти все углы t, косинус которых равен a. Буква t здесь обозначает неизвестный угол, а a — заданное число. Такое уравнение отличается от вычисления арккосинуса тем, что нужно получить не одно значение, а все подходящие углы.

Общее решение уравнения cos t = a при |a| ≤ 1 записывают так: t = ± arccos a + 2πk, где k — целое число. Формула объединяет все углы, поскольку учитывает и симметричные значения, и повторение косинуса через период. Она нужна, когда требуется описать решения на всей числовой прямой.

Как это устроено

Косинус любого угла не бывает меньше −1 или больше 1: его график колеблется между этими значениями. Поэтому прямая y = a пересечёт график y = cos t только тогда, когда −1 ≤ a ≤ 1. Если правая часть вышла за эти границы, подобрать угол невозможно, и уравнение не имеет действительных решений.

Одного условия по значениям недостаточно, чтобы однозначно определить угол: например, углы t и −t имеют одинаковый косинус. Чтобы получить функцию, для каждого значения косинуса выбирают только один угол. На отрезке [0; π] косинус убывает от 1 до −1 и не повторяет значения, поэтому там арккосинус определён однозначно.

Число arccos a даёт одно решение уравнения, лежащее в [0; π]. Но симметрия cos(−t) = cos t показывает, что угол с противоположным знаком тоже подходит. Поэтому в общей формуле появляются два варианта: плюс и минус перед arccos a; они охватывают углы с одинаковым косинусом по обе стороны от нуля.

Даже эти два угла не дают все решения, потому что косинус периодичен: cos(t + 2π) = cos t. Каждый полный оборот добавляет ещё один угол с тем же значением, а число таких оборотов может быть любым целым. Поэтому к обеим ветвям добавляют 2πk, где k ∈ Z, и так получают все решения.

На границах a = 1 и a = −1 поведение формулы упрощается: arccos 1 = 0, а arccos(−1) = π. Для первого значения знаки дают один и тот же набор углов с точностью до периода, а для второго обе ветви также описывают одну серию решений. При |a| > 1 график косинуса вообще не пересекается с горизонтальной прямой y = a.

График помогает увидеть, почему уравнение имеет две серии корней за период, а затем эти пересечения повторяются. Для значения a = ½ точки пересечения y = cos t и y = ½ на промежутке от −2π до 2π — лишь часть бесконечного набора решений.

Арккосинус и решения уравнения cos t = a

Сначала проверьте строку таблицы по значению a, затем используйте соответствующую формулу. В общем случае не забудьте указать, что k — любое целое число. Если задан промежуток, после записи общего решения отдельно отберите попадающие в него углы.

Разбор задач

Задача 1. Найти arccos(½). Нужно вспомнить угол из [0; π], косинус которого равен ½. Среди табличных значений подходит угол π/3: он лежит в заданном промежутке, и cos(π/3) = ½. Поскольку на [0; π] косинус принимает каждое значение только один раз, другого значения арккосинуса быть не может.

1. Проверяем область определения: число ½ лежит между −1 и 1, значит, арккосинус существует.
2. Ищем знакомый угол с косинусом ½: это π/3.
3. Убеждаемся, что π/3 принадлежит [0; π], как требует определение арккосинуса.

Ответ: arccos(½) = π/3.

Задача 2. Решить уравнение cos t = −1. Правая часть допустима, но это граничное значение диапазона косинуса. Из известных значений arccos(−1) = π, поэтому общая формула даёт t = ±π + 2πk. Две записи описывают одну серию углов: отрицательные нечётные кратные π уже получаются при изменении целого k.

1. Проверяем, что |−1| ≤ 1: уравнение может иметь решения.
2. Находим главное значение: arccos(−1) = π.
3. Подставляем в формулу: t = ±π + 2πk. Объединяем обе ветви и записываем t = π + 2πk, k ∈ ℤ.

Ответ: t = π + 2πk, k ∈ ℤ.

Задача 3. Решить уравнение cos t = √2/2 на промежутке [−2π; 2π]. Сначала найдём главное значение: cos(π/4) = √2/2, значит, arccos(√2/2) = π/4. Общее решение содержит углы π/4 + 2πk и −π/4 + 2πk. Теперь нужно не угадывать корни, а проверить целые k, при которых каждый угол остаётся между −2π и 2π.

1. Записываем общее решение: t = ±π/4 + 2πk, k ∈ ℤ.
2. Для ветви t = π/4 + 2πk условию промежутка удовлетворяют k = 0 и k = −1; получаем π/4 и −7π/4.
3. Для ветви t = −π/4 + 2πk подходят k = 0 и k = 1; получаем −π/4 и 7π/4. Другие целые k выводят углы за границы промежутка.

Ответ: −7π/4, −π/4, π/4, 7π/4.

Типичные ошибки

Иногда arccos a считают любым углом с косинусом a, забывая, что значение арккосинуса ограничено отрезком [0; π]. Так происходит потому, что привычные углы и их отрицательные значения дают один косинус. Проверяйте не только равенство cos t = a, но и принадлежность выбранного значения отрезку [0; π].

Если записать только t = arccos a, потеряются углы с противоположным знаком. Ошибка возникает, когда одно найденное значение принимают за полный ответ уравнения. Для проверки выпишите оба знака и подставьте каждый угол в косинус: оба варианта должны давать a.

Вместо периода 2π иногда прибавляют πk, поскольку путают косинус с функциями, у которых период равен π. Но при сдвиге на π косинус меняет знак, поэтому новые значения подходят не всегда. Подставьте t + π в косинус и сравните результат с cos t; для всех решений повторяется именно сдвиг на 2π.

Формулу общего решения могут применить, не проверив правую часть. Это приводит к записи арккосинуса числа, для которого он не определён в действительных числах. Перед решением сравните a с границами −1 и 1: при |a| > 1 сразу укажите отсутствие решений.

Связь с другими темами

До изучения арккосинуса полезно знать значения косинуса основных углов. Периодичность и симметрия косинуса объясняют, как из одного угла получить все решения уравнения. Без этих свойств трудно понять, откуда берутся знаки и целый параметр.

Арккосинус относится к обратным тригонометрическим функциям: он позволяет перейти от значения косинуса к главному углу. Этот подход используют при решении более сложных тригонометрических уравнений. В них сначала часто находят значение функции, а затем восстанавливают соответствующие углы.

Если корни нужно найти только на заданном промежутке, требуется отобрать подходящие целые значения k. Для этого пригодятся сравнение чисел на числовой прямой и преобразование неравенств. Сначала записывают все решения, а затем проверяют, какие из них удовлетворяют границам промежутка.

Что запомнить

• Область определения arccos a: −1 ≤ a ≤ 1.
• Значения arccos a принадлежат отрезку [0; π].
• arccos 1 = 0, а arccos(−1) = π.
• Уравнение cos t = a при |a| ≤ 1 имеет решения t = ± arccos a + 2πk.
• В общем решении k — любое целое число.
• При |a| > 1 действительных решений нет.