§ 16. Арксинус. Решение уравнения sint = а

Определения и обозначения

Арксинус числа a — это число из отрезка [−π/2; π/2], синус которого равен a; обозначение — arcsin a. Например, arcsin(1/2) — такой угол из указанного отрезка, синус которого равен 1/2. Арксинус позволяет по значению синуса определить соответствующий угол, не выбирая его произвольно из бесконечного множества вариантов.

Область определения арксинуса — множество чисел a, для которых −1 ≤ a ≤ 1. Это следует из того, что синус любого действительного угла принимает значения только от −1 до 1. Условие нужно проверять до вычисления арксинуса: если число выходит за эти границы, arcsin a в действительных числах не существует.

Главное значение arcsin a — единственный угол из [−π/2; π/2], синус которого равен a. Например, у числа 1/2 есть углы с таким синусом и за пределами этого отрезка, но главным будет π/6. Выбор одного промежутка устраняет неоднозначность и позволяет обозначению arcsin a всегда соответствовать ровно одно число.

Общее решение уравнения sin t = a — все углы, синус которых равен a, с учётом периодичности синуса. Его записывают двумя сериями: t = arcsin a + 2πk и t = π − arcsin a + 2πk, где k ∈ ℤ. Такое обозначение нужно, чтобы не потерять решения, отличающиеся на целое число полных оборотов.

Как это устроено

На всей числовой прямой синус не является взаимно однозначным: одному значению могут соответствовать разные углы. Например, одинаковый синус имеют углы π/6 и 5π/6. Поэтому нельзя просто «обратить синус» на всей прямой и получить одну функцию. Для арксинуса выбирают промежуток [−π/2; π/2], где каждое значение синуса встречается только один раз.

На выбранном отрезке синус возрастает от −1 до 1. Значит, он проходит все значения из этого промежутка и не повторяет ни одного из них. Поэтому любому a от −1 до 1 соответствует ровно одно число arcsin a. Если мысленно отразить график синуса на этом отрезке относительно прямой y = x, получится график арксинуса; это отражение показывает, что аргумент и значение функции меняются местами.

Чтобы решить sin t = a, сначала проверьте, может ли синус вообще принимать правую часть. Поскольку значения синуса лежат между −1 и 1, необходимо условие |a| ≤ 1. Если оно не выполнено, действительных углов, удовлетворяющих уравнению, нет; формулы с arcsin применять нельзя.

При допустимом a обозначим α = arcsin a. Это главный угол, но на окружности значение синуса α обычно имеют два положения: угол α и угол π − α. Кроме того, полный оборот не меняет синус, поэтому к каждому из этих углов прибавляют 2πk. Так получаются две серии: t = arcsin a + 2πk и t = π − arcsin a + 2πk, где k ∈ ℤ.

При a = 1 имеем arcsin 1 = π/2, а при a = −1 — arcsin(−1) = −π/2. Подстановка любого из этих значений в обе серии приводит к совпадающим наборам углов: в первом случае t = π/2 + 2πk, во втором t = −π/2 + 2πk. Совпадение закономерно: наибольшее и наименьшее значения синуса достигаются в одной точке за период, а не в двух разных положениях.

Арксинус числа и решения уравнения sin t = a

Сначала найдите в таблице строку с условием на a: она сразу показывает, существуют ли действительные решения. Если значение допустимо, используйте главное значение arcsin a и обе серии углов. Для a = 1 и a = −1 проверьте совпадение серий, чтобы не принять один и тот же набор решений за два разных.

Разбор задач

Задача 1. Найдите arcsin(1/2). Нужно подобрать угол из [−π/2; π/2], синус которого равен 1/2. В таблице значений синуса есть равенство sin(π/6) = 1/2, причём π/6 принадлежит нужному промежутку. Поскольку на этом промежутке синус не повторяет значения, другого главного угла нет.

1. Проверяем область определения: −1 ≤ 1/2 ≤ 1, значит, арксинус существует.
2. Находим знакомый угол: sin(π/6) = 1/2.
3. Проверяем выбор главного значения: π/6 лежит между −π/2 и π/2.

Ответ: arcsin(1/2) = π/6.

Задача 2. Решите sin t = −√2/2. Здесь правая часть находится между −1 и 1, поэтому решения есть. Главное значение равно −π/4, так как sin(−π/4) = −√2/2. Для полного ответа нужны обе серии, а периодичность учитывается добавлением 2πk.

1. Проверяем допустимость: |−√2/2| = √2/2 ≤ 1.
2. Находим главное значение: arcsin(−√2/2) = −π/4.
3. Записываем первую серию: t = −π/4 + 2πk.
4. Записываем вторую серию: t = π − (−π/4) + 2πk = 5π/4 + 2πk, где k ∈ ℤ.

Ответ: t = −π/4 + 2πk или t = 5π/4 + 2πk, k ∈ ℤ. Записи могут выглядеть по-разному в зависимости от выбранного периода, но описывают те же углы.

Задача 3. Решите уравнение sin t = 2, а затем sin t = 1. В первом уравнении правая часть превышает возможный максимум синуса, поэтому решения сразу исключаются. Во втором уравнении значение допустимо и достигается при угле π/2 с точностью до полных оборотов. Подстановка в общую формулу даёт совпадающие серии, поскольку синус достигает максимума в одном положении за период.

1. Для sin t = 2 проверяем условие |a| ≤ 1: число 2 ему не удовлетворяет.
2. Значит, уравнение sin t = 2 не имеет действительных решений.
3. Для sin t = 1 используем arcsin 1 = π/2 и формулы общего решения.
4. Первая серия даёт t = π/2 + 2πk, вторая — t = π − π/2 + 2πk = π/2 + 2πk.

Ответ: sin t = 2 — решений нет; для sin t = 1 получаем t = π/2 + 2πk, k ∈ ℤ.

Типичные ошибки

• Считают, что arcsin a обозначает все решения уравнения. Так происходит потому, что арксинус связывают с поиском угла, но забывают о специально выбранном промежутке главных значений. Проверка: результат arcsin a всегда должен быть одним числом из [−π/2; π/2], а не несколькими сериями.
• Применяют формулы при a вне [−1; 1]. Ошибка возникает, если сразу подставить число в формулу, не вспомнив пределы значений синуса. Сначала проверьте |a| ≤ 1: при нарушении условия действительных решений нет.
• Записывают только одну серию и забывают угол π − arcsin a. Обычно берут главное значение, считая его достаточным, хотя оно даёт лишь одно семейство углов. Чтобы проверить решение, убедитесь, что записаны оба положения за период и к каждому добавлено 2πk.
• Используют период π или забывают параметр k ∈ ℤ. Это может быть связано с тем, что синус меняет знак при сдвиге на π, а не сохраняет значение. Проверяйте подстановкой: период синуса равен 2π, и k должен принимать все целые значения.

Связь с другими темами

Для понимания арксинуса нужны значения синуса и единичная окружность. На окружности синус угла соответствует ординате точки, поэтому по известной ординате можно искать углы с нужным синусом. Выбор отрезка [−π/2; π/2] определяет, какой из них будет главным значением.

При записи общего решения используется периодичность синуса: углы, отличающиеся на 2π, имеют одинаковый синус. Поэтому параметр k ∈ ℤ охватывает все полные обороты. Это умение пригодится при решении тригонометрических уравнений.

Арксинус и общие решения уравнений встречаются в задачах с обратными тригонометрическими функциями. Понимание области определения помогает отбрасывать невозможные значения, а формулы решения — находить все подходящие углы. Эти навыки используются и при решении тригонометрических неравенств.

Что запомнить

• arcsin a определён только при −1 ≤ a ≤ 1.
• Значение arcsin a принадлежит отрезку [−π/2; π/2].
• sin(arcsin a) = a при −1 ≤ a ≤ 1.
• Уравнение sin t = a не имеет действительных решений, если |a| > 1.
• Общее решение: t = arcsin a + 2πk или t = π − arcsin a + 2πk, k ∈ ℤ.
• При a = 1 получаем t = π/2 + 2πk, при a = −1 — t = −π/2 + 2πk.