§ 17. Арктангенс и арккотангенс. Решение уравнений tgx = a, ctg* = а

Определения и обозначения

Арктангенс числа a — угол из интервала (−π/2; π/2), тангенс которого равен a; его обозначают arctg a. Например, arctg 1 = π/4, потому что tg(π/4) = 1. Арктангенс позволяет восстановить угол по значению его тангенса и записать главное, то есть выбранное по соглашению, значение.

Арккотангенс числа a — угол из интервала (0; π), котангенс которого равен a; обозначение — arcctg a. Например, arcctg 1 = π/4, так как ctg(π/4) = 1. Эта запись помогает найти главный угол по значению котангенса; для отрицательных a угол находится между π/2 и π.

Уравнение tg x = a — уравнение, в котором нужно найти все углы x, тангенс которых равен числу a. Здесь x — неизвестный угол, а a — заданное действительное число. Решая такое уравнение, мы ищем не только главный угол arctg a, но и все углы с тем же тангенсом.

Уравнение ctg x = a требует найти все углы x, котангенс которых равен заданному числу a. Его главный угол обозначается arcctg a. Чтобы получить полное множество решений, к этому углу учитывают периодичность котангенса.

Как это устроено

Тангенс повторяет значения, потому что tg(x + π) = tg x: при повороте на π отношение синуса к косинусу не меняется. На каждом промежутке (−π/2 + πk; π/2 + πk) график тангенса проходит все действительные значения по одному разу. Поэтому для обратной функции выбирают один такой промежуток, обычно (−π/2; π/2), и определяют на нём arctg. Аналогично котангенс проходит все значения один раз на каждом промежутке (πk; π + πk), поэтому для arcctg выбирают (0; π).

Периодичность объясняет вид общего решения. Если угол α даёт нужное значение тангенса или котангенса, то углы α + πk дают то же значение при любом целом k. Других углов с этим значением нет: на промежутке длины π соответствующая функция принимает каждое действительное значение ровно один раз. Поэтому прибавление πk не просто добавляет некоторые решения, а перечисляет их все.

Чтобы решить tg x = a, сначала находим угол, который лежит в выбранном для арктангенса промежутке: это arctg a. Затем учитываем период тангенса и записываем x = arctg a + πk, k ∈ Z. Если взять любой корень исходного уравнения и перенести его на один период в промежуток (−π/2; π/2), получим именно arctg a. Значит, каждый корень имеет записанный вид, и формула включает все решения.

Для уравнения ctg x = a сначала берут главный угол arcctg a из (0; π), а затем прибавляют все целые кратные периода. Получается x = arcctg a + πk, k ∈ Z. Любой угол можно перенести на период в интервал (0; π), где котангенс принимает значение a только в одной точке. Поэтому семейство решений охватывает все корни и не добавляет углов с другим значением котангенса.

Найденные углы нужно соотнести с областью определения исходной функции. Тангенс не определён при x = π/2 + πk, потому что там cos x = 0; котангенс не определён при x = πk, потому что там sin x = 0. В формулах общего решения такие точки не возникают при конечном a, однако при преобразовании более сложного уравнения они могут появиться. Подстановка в исходное уравнение и проверка знаменателей помогают исключить недопустимые значения.

Свойства тангенса и котангенса и решения уравнений

В таблице сначала проверьте, допустимо ли значение x, а затем выберите формулу решения по виду функции. k в формулах — любое целое число, поэтому одна строка задаёт бесконечное семейство углов. Главные значения арктангенса и арккотангенса лежат в разных интервалах, и при выборе угла это нужно учитывать.

Разбор задач

Решим уравнение tg x = 1. Нужно найти угол, тангенс которого равен единице, а затем перечислить все углы, отличающиеся от него на период тангенса. Так мы не ограничимся одним главным значением и получим полное решение.

1. Находим главное значение: arctg 1 = π/4, поскольку tg(π/4) = 1.
2. Добавляем период тангенса: x = π/4 + πk, k ∈ Z.
3. Углы из этой формулы не равны π/2 + πn, поэтому ограничений области определения они не нарушают.

Ответ: x = π/4 + πk, k ∈ Z.

Теперь решим ctg x = −√3. Арккотангенс нужно выбирать именно в интервале (0; π), а не брать любой угол с нужным котангенсом. Во второй четверти котангенс отрицателен, и угол 5π/6 подходит, так как ctg(5π/6) = −√3.

1. Определяем главное значение: arcctg(−√3) = 5π/6.
2. Учитываем период котангенса: x = 5π/6 + πk, k ∈ Z.
3. Эти углы не равны πn, поэтому котангенс в них определён.

Ответ: x = 5π/6 + πk, k ∈ Z.

Решим уравнение 2tg(3x − π/6) = 2. Сначала избавимся от множителя 2: тангенс аргумента должен быть равен 1. Период применяем к аргументу 3x − π/6, а не сразу к x, после чего решаем линейное уравнение для каждого целого k.

1. Делим обе части на 2: tg(3x − π/6) = 1.
2. Записываем общее решение: 3x − π/6 = π/4 + πk, k ∈ Z.
3. Переносим π/6: 3x = 5π/12 + πk.
4. Делим на 3: x = 5π/36 + πk/3, k ∈ Z.
5. Значения аргумента равны π/4 + πk, где тангенс определён, поэтому исключать полученные корни не нужно.

Ответ: x = 5π/36 + πk/3, k ∈ Z.

Типичные ошибки

При решении уравнений для тангенса иногда указывают период 2π, как для синуса и косинуса. Так происходит, если помнить период основных тригонометрических функций, но не проверять период именно tg x; в итоге теряются решения, отличающиеся на π. Проверьте равенство tg(x + π) = tg x: оно сразу показывает нужный шаг.

Другая ошибка — записать только arctg a или arcctg a и считать задачу завершённой. Это главное значение обратной функции, а уравнение имеет ещё корни, получаемые сдвигом на период. Для самопроверки добавьте πk, k ∈ Z, и убедитесь, что записано именно общее решение.

Для arcctg отрицательного числа могут выбрать угол вне интервала (0; π), например отрицательный угол с подходящим котангенсом. Такой угол может удовлетворять уравнению, но не является принятым главным значением arcctg. Сверяйте ответ с выбранным промежутком: для отрицательного котангенса главное значение находится во второй четверти.

Нельзя подставлять значения, при которых исходная функция не определена: для тангенса это π/2 + πk, а для котангенса — πk. Ошибка возникает, когда после преобразований проверяют только равенство, забывая про знаменатели sin x и cos x. Подставьте каждый кандидат в исходную функцию и убедитесь, что её знаменатель не равен нулю.

Связь с другими темами

Для работы с арктангенсом и арккотангенсом нужны определения тангенса и котангенса, их области определения и значения на основных углах. Также пригодится знание периодичности тригонометрических функций: без него нельзя записать все корни уравнения. В уравнениях с аргументом вида 3x − π/6 понадобится умение решать линейные уравнения и преобразовывать выражения с углами.

Эти формулы становятся инструментом при решении более сложных тригонометрических уравнений. Сами arctg и arcctg — примеры обратных тригонометрических функций: они восстанавливают главный угол по значению функции. Поэтому понимание выбранных интервалов помогает и при знакомстве с другими обратными тригонометрическими функциями.

Что запомнить

• arctg a — угол из (−π/2; π/2), тангенс которого равен a.
• arcctg a — угол из (0; π), котангенс которого равен a.
• tg x = a ⇔ x = arctg a + πk, k ∈ Z.
• ctg x = a ⇔ x = arcctg a + πk, k ∈ Z.
• Период и тангенса, и котангенса равен π.
• При записи ответа проверяй, что найденные углы входят в область определения функции.