"Математика. 10 класс. (базовый уровень)", Мордкович А.Г., Смирнова И.М.
Тригонометрическое уравнение — это уравнение, в котором неизвестное стоит под знаком синуса, косинуса, тангенса или котангенса. Решить его — значит найти все значения неизвестного, при которых равенство верно; обычно для этого определяют подходящие углы, а затем записывают их с учётом периода функции. Синус и косинус не выходят за пределы от −1 до 1, а тангенс и котангенс могут принимать любые действительные значения. Главное — не потерять серии решений и проверить область определения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Тригонометрическое уравнение — уравнение, в котором неизвестная входит под знаком тригонометрической функции. Чтобы его решить, нужно найти значения аргумента, при которых функция принимает требуемое значение. Например, в sin x = ½ неизвестной является угол x.
Корень тригонометрического уравнения — значение неизвестной, при подстановке которого уравнение становится верным. Корней может быть несколько, а часто их бесконечно много из-за периодичности функций. Это определение помогает отличать найденный угол-кандидат от действительно подходящего значения.
Общее решение — запись всех корней с помощью целочисленного параметра, например k ∈ Z. Параметр k позволяет перечислить углы, отличающиеся на период функции, не выписывая их по одному. Если указать только одно значение k, получится лишь часть решений.
Арксинус и арккосинус — функции, которые по числу задают выбранный угол, синус или косинус которого равен этому числу. Значение arcsin a выбирают из промежутка [−π/2; π/2], а arccos a — из [0; π]. Они дают опорные углы, от которых удобно записывать все решения исходного уравнения.
На единичной окружности синус угла — это координата точки по вертикали, а косинус — по горизонтали. Обе координаты не могут быть больше 1 или меньше −1, поэтому равенства sin x = a и cos x = a возможны только при −1 ≤ a ≤ 1. Если |a| > 1, подходящей точки на окружности нет и действительных решений не существует.
Чтобы решить sin x = a или cos x = a, сначала находят точки окружности с нужной координатой. Обычно для синуса горизонтальная прямая пересекает окружность в двух точках, а для косинуса вертикальная — тоже в двух; соответствующие углы дают две серии решений. После полного оборота точка возвращается на прежнее место, поэтому к углам можно прибавлять 2πk. На границах a = 1 или a = −1 точки совпадают, и две серии синусных решений фактически дают одну и ту же последовательность.
Для синуса один из опорных углов задаёт arcsin a, а второй получается как π − arcsin a. Для косинуса основной угол равен arccos a, а симметричный ему — −arccos a; к каждому добавляют 2πk. Здесь k — любое целое число, а 2π появляется потому, что синус и косинус возвращаются к прежним значениям после полного оборота. Такой способ сразу охватывает углы во всех четвертях.
Тангенс и котангенс принимают любые действительные значения: их графики и значения на окружности не ограничены отрезком [−1; 1]. Прибавление π не меняет ни тангенс, ни котангенс, так как после половины оборота соответствующее отношение координат повторяется. Поэтому уравнения tg x = a и ctg x = a решают с периодом π, а не 2π. Для них подходят формулы x = arctg a + πk и x = arcctg a + πk, где arcctg a — угол из (0; π) с котангенсом a.
Общее решение нужно проверить в исходном уравнении, а не только в преобразованной записи. При подстановке должно получиться верное равенство, и выражение под знаком функции должно быть допустимым. Например, tg x не определён при x = π/2 + πk, а ctg x — при x = πk; такие значения нельзя оставлять в ответе.
| Уравнение | Условие на a | Общее решение |
|---|---|---|
| sin x = a | −1 ≤ a ≤ 1 | x = arcsin a + 2πk или x = π − arcsin a + 2πk |
| cos x = a | −1 ≤ a ≤ 1 | x = ± arccos a + 2πk |
| tg x = a | a ∈ R | x = arctg a + πk |
| ctg x = a | a ∈ R | x = arcctg a + πk |
Сначала проверь условие на a, затем выбери формулу для нужной функции. В каждой формуле k принимает все целые значения. Для тангенса и котангенса дополнительно учитывай точки, где функция не определена.
Задача 1. Решить уравнение sin x = ½.
Ответ: x = π/6 + 2πk или x = 5π/6 + 2πk, k ∈ Z.
Задача 2. Решить уравнение cos x = −√2/2.
Ответ: x = 3π/4 + 2πk или x = 5π/4 + 2πk, k ∈ Z.
Задача 3. Решить уравнение 2tg(3x − π/4) = √3.
Ответ: x = (π/4 + arctg(√3/2) + πk)/3, k ∈ Z.
Для тангенса иногда записывают период 2π, перенося правило для синуса и косинуса. Это неверно: при прибавлении π значение тангенса уже повторяется, поэтому шаг 2π пропускает целую серию корней. Проверь себя равенством tg(x + π) = tg x и используй в общем решении πk.
Если в уравнении sin x = a или cos x = a модуль a больше 1, попытка искать углы не даст результата. Такую ошибку допускают, когда сразу применяют формулы, не проверив возможные значения функции. Перед решением сравни a с отрезком [−1; 1]: за его пределами действительных корней нет.
Ещё одна ошибка — записать только один угол, например arcsin a, или забыть параметр k. Тогда ответ не будет общим, потому что обычно существуют вторая серия углов и бесконечно много периодических повторений. Проверь, сколько точек с нужной координатой на окружности, и убедись, что в формуле указано k ∈ Z.
При преобразовании уравнений с tg или ctg могут забыть, что функция определена не при всех x. Ошибка возникает, если проверяют только полученное равенство и не возвращаются к области определения исходного выражения. Подставь найденные значения в аргумент: tg не существует при π/2 + πk, ctg — при πk; недопустимые значения нужно исключить.
Для решения нужны значения тригонометрических функций на основных углах, умение работать с единичной окружностью и знание периодов синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Эти знания помогают находить опорный угол и записывать все его повторения. Дальше простейшие уравнения становятся основой для решения тригонометрических неравенств и систем. К ним также сводят более сложные уравнения, в которых выражение с неизвестной сначала преобразуют.
Почему у уравнения sin x = a обычно две серии решений?
На единичной окружности одному значению синуса обычно соответствуют две точки: их углы имеют одинаковую координату y. Поэтому решения записывают двумя сериями: x = arcsin a + 2πk и x = π − arcsin a + 2πk. При a = 1 или a = −1 эти серии совпадают.
Что делать, если правая часть уравнения с синусом или косинусом больше 1 по модулю?
Действительных решений нет: синус и косинус принимают значения только от −1 до 1. Например, уравнение cos x = 1,2 не имеет решений.
Почему период решения уравнения с тангенсом равен π?
Тангенс повторяет значения при прибавлении π: tg(x + π) = tg x. Поэтому все решения tg x = a записывают как x = arctg a + πk, где k ∈ Z.
Что означает k ∈ ℤ в общей формуле решения?
Это означает, что k может быть любым целым числом: отрицательным, нулём или положительным. Подстановка разных k даёт все углы из серии решений.
Как проверить, что при преобразованиях не появились посторонние корни?
Подставьте найденные значения в исходное уравнение и убедитесь, что равенство верно. Для тангенса и котангенса отдельно проверьте, что аргумент не попадает в точку, где соответствующая функция не определена.
§ 18. Тригонометрические уравнения
