"Математика. 10 класс. (базовый уровень)", Мордкович А.Г., Смирнова И.М.
Формулы синуса и косинуса суммы и разности позволяют находить значение тригонометрической функции для выражения из двух углов через значения функций каждого угла. Они пригодятся, когда угол можно представить как сумму или разность табличных углов, а также при упрощении выражений. Главное — точно запомнить четыре формулы и следить за знаками: у синуса знак сохраняется, у косинуса меняется.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Синус суммы аргументов — это значение синуса выражения α + β: sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β. Здесь α и β — углы, а аргументы — выражения, от которых зависит функция. Формула нужна, чтобы находить синус суммы через значения для каждого угла отдельно.
Синус разности аргументов — значение синуса выражения α − β: sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β. В отличие от суммы, перед вторым произведением стоит минус. Эта запись помогает вычислить синус разности, не отыскивая её значение в таблице напрямую.
Косинус суммы аргументов — значение косинуса выражения α + β: cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β. Косинус суммы выражается через произведения синусов и косинусов отдельных углов. Формула полезна при вычислениях и преобразовании тригонометрических выражений.
Косинус разности аргументов — значение косинуса выражения α − β: cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β. При разности перед произведением синусов стоит плюс. С помощью этой формулы можно найти косинус разности, даже если известны только значения функций для α и β.
Представить углы помогает единичная окружность — окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Точке, соответствующей углу α, отвечают координаты (cos α; sin α). Поворот точки на β изменяет её положение на окружности, а последовательные повороты на α и β дают тот же результат, что один поворот на α + β. Поэтому координаты после поворота на сумму можно связать с координатами, соответствующими каждому углу.
Рассмотрим точку с координатами (cos α; sin α) и повернём её на β. При таком повороте горизонтальная координата новой точки равна x cos β − y sin β: вклад прежнего горизонтального направления уменьшается на составляющую, связанную с y. Подставляя x = cos α и y = sin α, получаем cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β. Вертикальная координата определяется выражением x sin β + y cos β, поэтому она равна sin α cos β + cos α sin β. Это и есть формула синуса суммы; координатные соотношения согласуются с тем, что sin²x + cos²x = 1.
Формулу синуса суммы можно получить и из формулы косинуса разности. Запишем sin(α + β) как cos(π/2 − (α + β)), поскольку синус угла равен косинусу его дополнения до π/2. Выражение внутри косинуса равно (π/2 − α) − β, поэтому применяем формулу косинуса разности. После раскрытия получаем cos(π/2 − α) cos β + sin(π/2 − α) sin β. Так как cos(π/2 − α) = sin α, а sin(π/2 − α) = cos α, выходит формула синуса суммы.
Формулы разности выводят из формул суммы заменой β на −β. Косинус не меняется при смене знака аргумента: cos(−β) = cos β, а синус меняет знак: sin(−β) = −sin β. Поэтому в выражении для синуса появляется минус, а в выражении для косинуса плюс. Сравнение всех четырёх формул даёт удобное правило: у синуса знак между слагаемыми повторяет знак между аргументами, а у косинуса он противоположный.
| Выражение | Формула |
|---|---|
| sin(α + β) | sin α cos β + cos α sin β |
| sin(α − β) | sin α cos β − cos α sin β |
| cos(α + β) | cos α cos β − sin α sin β |
| cos(α − β) | cos α cos β + sin α sin β |
Сначала определите, какая функция записана слева и соединены ли аргументы знаком плюс или минус. Затем выберите соответствующую строку таблицы и подставьте значения синусов и косинусов. Перед вычислениями проверьте знак перед вторым произведением: для синуса он повторяет знак аргументов, для косинуса — меняется.
Задача 1. Найти sin 75°, представив 75° как сумму 45° и 30°.
Ответ: sin 75° = (√6 + √2)/4. Сначала мы подобрали разложение угла на знакомые углы, а затем использовали значения из таблицы.
Задача 2. Упростить выражение cos(x + y) + cos(x − y).
Ответ: 2 cos x cos y. При раскрытии скобок удобно сначала записать оба результата полностью, чтобы не потерять знаки и увидеть сокращение.
Задача 3. Найти cos(α − β), если sin α = 3/5, cos α > 0, sin β = 5/13, cos β > 0.
Ответ: cos(α − β) = 63/65. Знак каждого восстановленного косинуса выбран по условию, а в формуле разности косинусов стоит плюс перед произведением синусов.
В формуле синуса суммы иногда ставят минус между произведениями: sin α cos β − cos α sin β. Такая ошибка возникает, когда формулу синуса разности вспоминают раньше суммы. Проверьте знак по аргументам: при α + β в формуле синуса тоже должен быть плюс.
В формуле косинуса суммы могут поставить плюс перед sin α sin β. Это происходит, если запомнить знак косинуса разности и перенести его без изменений. Сверьте знак с аргументами: у косинуса он противоположный, поэтому для суммы нужен минус.
Для косинуса разности иногда ошибочно записывают минус перед произведением синусов. Причина та же — правило о знаках перенесли с синуса или перепутали формулы. Чтобы проверить запись, вспомните: знак косинуса меняется относительно знака аргументов, значит при разности в формуле стоит плюс.
Запись sin(α + β) = sin α + sin β неверна: синус суммы не равен сумме синусов. Так ошибаются, перенося привычное раскрытие скобок на тригонометрические функции. Проверить себя можно подстановкой α = β = 30°: sin 60° не равен sin 30° + sin 30°.
Для работы с формулами нужны значения синуса и косинуса известных углов, основное тригонометрическое тождество sin²x + cos²x = 1 и формулы приведения. Эти знания позволяют подставлять табличные значения и восстанавливать недостающую функцию с учётом её знака. Формулы сложения применяют для точного вычисления синусов и косинусов углов, представимых суммой или разностью известных углов. Они также служат основой для формул двойного угла, преобразования выражений и решения тригонометрических уравнений.
Как не перепутать знаки в формулах синуса и косинуса?
У синуса знак между слагаемыми такой же, как знак между аргументами: сумма даёт плюс, разность — минус. У косинуса знак противоположный: при сумме стоит минус, при разности — плюс.
Почему в формуле косинуса суммы появляется минус?
При сложении углов меняются координаты точки на единичной окружности, и выражение для координаты по горизонтали содержит разность cos α cos β и sin α sin β. Поэтому формула cos(α + β) имеет вид cos α cos β − sin α sin β.
Как получить формулу разности из формулы суммы?
В формуле суммы заменяют β на −β. Затем используют cos(−β) = cos β и sin(−β) = −sin β, поскольку косинус — чётная функция, а синус — нечётная.
Можно ли применять формулы, если углы заданы в радианах?
Да, формулы работают и с градусной, и с радианной мерой углов. Нужно только не смешивать единицы: например, складывать градусы с градусами, а радианы с радианами.
Как вычислить синус угла, который не входит в таблицу значений?
Представьте угол как сумму или разность углов, синусы и косинусы которых известны. Подставьте их значения в формулу сложения и аккуратно выполните вычисления.
§ 19. Синус и косинус суммы и разности аргументов
