"Математика. 10 класс. (базовый уровень)", Мордкович А.Г., Смирнова И.М.
Тангенс суммы и разности позволяет вычислять tg(α + β) и tg(α − β), зная тангенсы отдельных углов. В этих формулах важны знаки: для суммы в знаменателе стоит 1 минус произведение тангенсов, для разности — 1 плюс. Формулы помогают находить точные значения тригонометрических выражений, но применимы только тогда, когда оба отдельных тангенса определены и знаменатель не равен нулю.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Тангенс суммы — это значение tg(α + β), выраженное через тангенсы углов α и β. Он позволяет вычислить тангенс нового угла, не переходя к синусу и косинусу самого угла. Например, если известны значения тангенсов двух углов, можно найти тангенс их суммы.
Формула тангенса суммы записывается так: tg(α + β) = (tg α + tg β) / (1 − tg α · tg β). Она применима, когда оба отдельных тангенса определены и знаменатель не равен нулю. Это равенство связывает значения знакомых углов с тангенсом их суммы.
Тангенс разности — значение tg(α − β), которое выражают через tg α и tg β. Такое представление удобно, когда нужно найти тангенс разности углов, а сами углы можно составить из известных значений. Знак вычитания в записи аргументов учитывается в формуле отдельно.
Формула тангенса разности имеет вид tg(α − β) = (tg α − tg β) / (1 + tg α · tg β). Здесь также требуются определённость обоих исходных тангенсов и ненулевой знаменатель. Эта формула нужна, чтобы вычислять тангенс разности без округления, если тангенсы исходных углов известны точно.
Чтобы получить формулу, представим тангенс суммы как отношение синуса к косинусу: tg(α + β) = sin(α + β) / cos(α + β). Подставим формулы сложения: в числителе будет sin α · cos β + cos α · sin β, а в знаменателе — cos α · cos β − sin α · sin β. Разделим каждый член числителя и знаменателя на cos α · cos β. Частные sin α / cos α и sin β / cos β становятся тангенсами, поэтому получается (tg α + tg β) / (1 − tg α · tg β); минус возникает из формулы косинуса суммы.
Для разности рассуждение начинается так же: tg(α − β) = sin(α − β) / cos(α − β). В формулах разности синус содержит sin α · cos β − cos α · sin β, а косинус — cos α · cos β + sin α · sin β. После деления на cos α · cos β первый знак превращается в минус между тангенсами, а второй — в плюс между их произведением и единицей. Так объясняется, почему в знаменателе формулы разности стоит плюс, хотя между аргументами стоит минус.
Условия применения связаны с самим способом вывода. Чтобы тангенсы α и β существовали, нужны cos α ≠ 0 и cos β ≠ 0: иначе исходные отношения синуса к косинусу не определены. Затем надо проверить, что знаменатель полученной дроби не равен нулю, иначе делить на него нельзя. Если знаменатель нулевой, косинус итоговой суммы или разности также равен нулю, поэтому тангенс итогового угла не существует.
Знаки удобно запоминать парами: знак в числителе повторяет действие между аргументами, а в знаменателе меняется на противоположный. Для суммы это плюс в числителе и минус перед произведением в знаменателе; для разности — минус в числителе и плюс в знаменателе. Такой порядок возникает не по отдельному правилу для дроби, а из знаков в формулах синуса и косинуса. Если представить обе формулы рядом, легко проверить себя перед подстановкой значений.
Формулы особенно полезны, когда угол записан как сумма или разность углов с известными точными тангенсами. Например, π/4 + π/6 — сумма стандартных углов, поэтому можно подставить tg(π/4) и tg(π/6), а затем упростить дробь. Важно сначала определить, какая формула подходит, а после подстановки проверить знаменатель. В результате можно получить точное значение, а не приближённое число с округлением.
Чтобы получить формулу двойного угла, в формуле суммы полагают β = α. Тогда tg(α + α) = (tg α + tg α) / (1 − tg α · tg α), то есть tg 2α = 2 tg α / (1 − tg² α). Для применения требуется, чтобы tg α существовал и чтобы 1 − tg² α ≠ 0. Иначе говоря, исключены углы, для которых cos α = 0 или tg α = ±1.
| Случай | Формула | Условие для знаменателя |
|---|---|---|
| Сумма аргументов | tg(α + β) = (tg α + tg β) / (1 − tg α · tg β) | 1 − tg α · tg β ≠ 0 |
| Разность аргументов | tg(α − β) = (tg α − tg β) / (1 + tg α · tg β) | 1 + tg α · tg β ≠ 0 |
| Двойной аргумент | tg 2α = 2 tg α / (1 − tg² α) | 1 − tg² α ≠ 0 |
Сначала найдите в таблице строку, соответствующую знаку между аргументами, и выберите формулу. Затем проверьте, что отдельные тангенсы существуют, и убедитесь, что знаменатель не равен нулю. Для двойного аргумента используйте третью строку, которая получается из формулы суммы.
Угол записан как сумма двух знакомых углов, поэтому применяем формулу тангенса суммы. Из известных значений tg(π/4) = 1 и tg(π/6) = 1/√3. После подстановки проверим знаменатель: это необходимо, чтобы вычисление дроби было допустимым.
Ответ: 2 + √3.
Между аргументами стоит минус, значит, нужна формула тангенса разности. Значения отдельных тангенсов те же, что и в предыдущей задаче, но знак в знаменателе теперь будет плюсом. Это хороший случай, чтобы проверить, не была ли формула выбрана механически по одному только числителю.
Ответ: 2 − √3.
Двойной угол 2α — это сумма α + α. Поэтому его тангенс можно найти по формуле суммы, положив β = α. Такое получение показывает, что формула двойного угла не является независимым правилом, а следует из уже выведенного равенства.
Ответ: tg 2α = 2 tg α / (1 − tg² α), если cos α ≠ 0 и tg α ≠ ±1.
Путают знаки в знаменателе. Иногда знак переносят из числителя механически и пишут для суммы плюс, а для разности минус. Причина ошибки — запоминание только одного знака вместо всей формулы. Проверьте пару: для суммы в числителе плюс, в знаменателе минус; для разности — наоборот.
Считают, что tg(α + β) = tg α + tg β. Такое рассуждение выглядит естественно, если забыть, что тангенс — отношение синуса к косинусу. При сложении меняются и синус, и косинус, поэтому появляется дополнительное выражение в знаменателе. Для проверки подставьте, например, α = β = π/4: тангенс суммы не равен сумме отдельных тангенсов.
Не проверяют знаменатель. Даже при верно выбранной формуле и правильно найденных исходных тангенсах знаменатель может оказаться нулём. Тогда вычислять дробь нельзя, а тангенс итогового угла не определён. Перед упрощением отдельно найдите знаменатель и проверьте, что он не равен нулю.
Подставляют несуществующий тангенс. Тангенс угла не определён, когда косинус этого угла равен нулю, но при подстановке это условие иногда упускают. Формулы сложения используют отношения sin α / cos α и sin β / cos β, поэтому оба исходных тангенса должны существовать. Сначала проверьте косинусы исходных углов, а уже потом подставляйте значения.
Для работы с формулами нужно знать определение тангенса и помнить, при каких углах он существует. Вывод опирается на формулы синуса и косинуса суммы и разности: именно их знаки определяют вид числителя и знаменателя. Полученные равенства помогают вычислять точные значения тригонометрических выражений и преобразовывать выражения с тангенсами. Если аргументы равны, формула суммы сразу приводит к формуле тангенса двойного угла.
Почему в формуле тангенса суммы в знаменателе стоит минус?
Потому что тангенс суммы получают делением синуса суммы на косинус суммы. При раскрытии косинуса суммы появляется выражение cos α · cos β − sin α · sin β, а после деления на cos α · cos β оно превращается в 1 − tg α · tg β.
Как не перепутать формулы для суммы и разности?
Сверяйте сразу два знака: в числителе знак такой же, как между аргументами, а в знаменателе — противоположный. Поэтому для суммы получается «плюс» сверху и «минус» снизу, а для разности — наоборот.
Можно ли применять формулу, если один из тангенсов не определён?
Нет, формула требует, чтобы tg α и tg β существовали. Если один из них не определён, подставлять его значение в формулу нельзя; значение тангенса суммы или разности нужно исследовать отдельно.
Почему нужно отдельно проверять знаменатель?
При нулевом знаменателе дробь не определена, а деление на ноль невозможно. Кроме того, в этом случае тангенс итогового угла тоже не существует.
Как получить формулу тангенса двойного угла?
В формуле тангенса суммы замените β на α: tg(α + α) = (tg α + tg α) / (1 − tg² α). После упрощения получите tg 2α = 2 tg α / (1 − tg² α); нужны определённость tg α и ненулевой знаменатель.
§ 20. Тангенс суммы и разности аргументов
