"Математика. 10 класс. (базовый уровень)", Мордкович А.Г., Смирнова И.М.
Формулы двойного аргумента выражают синус и косинус угла 2α через синус и косинус угла α. Они получаются из формул суммы, если взять оба слагаемых равными α. Главные равенства: sin 2α = 2 sin α cos α и cos 2α = cos² α − sin² α. Косинус двойного угла также можно записать через один синус или один косинус — это удобно при вычислениях и преобразовании выражений.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Формула синуса суммы имеет вид sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β. Она позволяет выразить синус суммы двух углов через синусы и косинусы каждого из них. Это полезно, когда значения отдельных функций известны, а значение синуса суммы нужно найти или преобразовать.
Формула косинуса суммы записывается так: cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β. В отличие от формулы синуса, здесь между произведениями стоит знак минус. Формула помогает вычислять косинус суммы и служит основой для получения формулы косинуса двойного аргумента.
Формула синуса двойного аргумента — это частный случай формулы синуса суммы, когда оба угла равны: sin 2α = 2 sin α cos α. Запись sin 2α означает синус угла 2α, а не удвоенное значение sin α. Формула нужна, чтобы заменить функцию от удвоенного угла выражением через функции исходного угла.
Формула косинуса двойного аргумента получается аналогично: cos 2α = cos² α − sin² α. Её равносильные формы — cos 2α = 1 − 2 sin² α и cos 2α = 2 cos² α − 1. Они выражают ту же величину, но позволяют обойтись только известным синусом или только известным косинусом.
Формулы двойного аргумента не являются отдельными правилами, не связанными с формулами суммы. Угол 2α можно представить как сумму α + α, поэтому к нему применима формула суммы. Подстановка равных углов превращает выражения для суммы в формулы двойного аргумента.
Для синуса подставим β = α в равенство sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β. Тогда sin(α + α) = sin α cos α + cos α sin α. Левая часть равна sin 2α, а оба слагаемых справа совпадают, поэтому их сумма равна 2 sin α cos α.
Для косинуса та же подстановка даёт cos(α + α) = cos α cos α − sin α sin α. Произведения одинаковых функций записываются как квадраты, так что cos 2α = cos² α − sin² α. Знак минус сохраняется, поскольку он уже есть в формуле косинуса суммы.
Чтобы получить форму через синус, заменим cos² α на 1 − sin² α. Такая замена разрешена основным тригонометрическим тождеством sin² α + cos² α = 1: cos 2α = (1 − sin² α) − sin² α = 1 − 2 sin² α. Для формы через косинус заменим sin² α на 1 − cos² α и получим cos 2α = cos² α − (1 − cos² α) = 2 cos² α − 1.
Форму выбирают по тем значениям, которые уже известны: при известном синусе удобнее подставлять его в 1 − 2 sin² α, а при известном косинусе — в 2 cos² α − 1. Основная форма с двумя квадратами пригодится, если известны оба значения. Подстановка формулы помогает вычислять выражения с углами 2α без отдельного нахождения самого угла.
| Выражение | Основная формула | Равносильные формы | Когда удобно применять |
|---|---|---|---|
| sin 2α | sin 2α = 2 sin α cos α | — | Когда известны sin α и cos α |
| cos 2α | cos 2α = cos² α − sin² α | cos 2α = 1 − 2 sin² α; cos 2α = 2 cos² α − 1 | Когда известны оба значения или нужно выбрать форму через одну функцию |
| cos 2α через sin α | cos 2α = 1 − 2 sin² α | cos 2α = cos² α − sin² α | Когда известен синус α |
| cos 2α через cos α | cos 2α = 2 cos² α − 1 | cos 2α = cos² α − sin² α | Когда известен косинус α |
Сначала найдите в таблице выражение, которое требуется вычислить или преобразовать. Затем выберите такую равносильную форму, где справа стоят известные значения и не нужно выполнять лишние вычисления.
Если известны и синус, и косинус, можно использовать основную формулу для косинуса двойного угла. Таблица перечисляет варианты одной и той же формулы, а не разные правила.
Нужно вычислить синус удвоенного угла, а значения синуса и косинуса самого угла уже даны. Поэтому сразу подходит формула sin 2α = 2 sin α cos α. Подставляем дроби и аккуратно перемножаем их.
Ответ: sin 2α = 24/25. Дополнительно можно заметить, что дроби 3/5 и 4/5 согласуются с тождеством sin² α + cos² α = 1, поэтому подстановка не противоречит данным о тригонометрических функциях одного угла.
Известен синус, а косинус искать не требуется: формула cos 2α = 1 − 2 sin² α выражает результат только через синус. Условие об остром угле здесь не нужно для вычисления, но оно задаёт положение α и не мешает применить формулу. Возводим данное значение синуса в квадрат до подстановки.
Ответ: cos 2α = 119/169. Можно проверить вычисление, приведя единицу к знаменателю 169: 169/169 − 50/169 = 119/169. Находить cos α по основному тождеству для решения не понадобилось.
В числителе и знаменателе стоят функции двойного угла, поэтому заменим их формулами через α. Для числителя удобна форма cos 2α = 1 − 2 sin² α, а знаменатель раскроем по формуле синуса двойного аргумента. После этого можно сократить общий множитель, но только с учётом условий исходной дроби.
Ответ: tg α при sin 2α ≠ 0, то есть при sin α ≠ 0 и cos α ≠ 0. Эти ограничения нельзя терять: исходное выражение не определено при нулевом знаменателе. Сокращение допустимо именно потому, что на области определения сокращаемый множитель не равен нулю.
Записывают sin 2α = 2 sin α, забывая множитель cos α. Ошибка возникает, если помнить только, что результат удваивается, но не подставить равные углы в формулу синуса суммы. Проверьте себя раскрытием: оба слагаемых дают sin α cos α, поэтому вместе они равны 2 sin α cos α.
В формуле cos 2α = cos² α − sin² α ставят плюс. Так происходит, когда знак в формуле косинуса суммы путают со знаком в формуле синуса суммы. Для проверки подставьте β = α в cos(α + β): между произведениями стоит минус, и он сохраняется.
Считают, что cos 2α всегда можно вычислить как 1 − 2 sin² α, но подставляют значение синуса другого угла. Сама форма верна для одного и того же α: исходный угол и угол внутри синуса должны совпадать. Проверьте, что в задаче дан именно sin α, а не, например, sin 2α.
Сокращают множители в дроби, не проверив знаменатель и область допустимых значений. Обычно причина в том, что преобразованное выражение выглядит проще и исходные ограничения забываются. До сокращения установите, когда знаменатель исходной дроби равен нулю; после преобразования эти запрещённые значения должны остаться исключёнными.
Для вывода формул двойного аргумента нужны формулы синуса и косинуса суммы, а также основное тождество sin² α + cos² α = 1. Тождество позволяет преобразовать основную формулу косинуса двойного аргумента в формы через один синус или косинус. Поэтому полезно уверенно выполнять подстановки и работать с квадратами тригонометрических функций.
Формулы применяются при вычислении значений, преобразовании тригонометрических выражений и решении тригонометрических уравнений. В частности, они помогают заменить выражение с углом 2α на выражение с углом α. При таких преобразованиях, особенно в дробях, нужно сохранять область допустимых значений.
Почему в формуле синуса двойного аргумента появляется множитель 2?
В формуле sin(α + β) есть два слагаемых: sin α cos β и cos α sin β. Если β = α, они становятся одинаковыми, поэтому их сумма равна 2 sin α cos α.
Как получить формулу cos 2α = 1 − 2 sin² α?
Начинаем с cos 2α = cos² α − sin² α и заменяем cos² α на 1 − sin² α по тождеству sin² α + cos² α = 1. После упрощения получаем 1 − 2 sin² α.
Какую форму формулы cos 2α выбрать, если известен только синус угла?
Используйте cos 2α = 1 − 2 sin² α и подставьте известное значение sin α. Тогда находить cos α отдельно не требуется.
Можно ли применять формулы двойного аргумента к углам в градусах?
Да. Формулы верны и для градусов, и для радиан, если все углы в вычислениях измеряются в одной и той же единице. Например, при α = 30° двойной угол равен 60°.
Как проверить, что преобразование с формулой двойного аргумента не изменило область допустимых значений?
Сначала найдите, при каких значениях исходное выражение определено: например, его знаменатель не равен нулю. После замены формулой проверьте эти условия и не сокращайте множитель, который может быть равен нулю, без сохранения соответствующего ограничения.
§ 21. Формулы двойного аргумента
