"Математика. 10 класс. (базовый уровень)", Мордкович А.Г., Смирнова И.М.
Сумму или разность синусов и косинусов можно заменить произведением двух функций, если выразить аргументы через их полусумму и полуразность. Эти формулы помогают упрощать тригонометрические выражения, доказывать тождества и решать уравнения. Главное — правильно определить, где стоят синус и косинус, не забыть множитель 2 и следить за порядком аргументов: от него зависит знак результата.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Преобразование суммы в произведение — представление суммы или разности синусов либо косинусов в виде произведения двух множителей. Например, sin α + sin β можно переписать как произведение синуса и косинуса. Такая запись помогает упростить выражение или свести уравнение к нескольким более простым уравнениям.
Полусумма аргументов — выражение (α + β)/2, где α и β — аргументы тригонометрических функций. Это середина между двумя аргументами: она показывает, вокруг какого значения они расположены. В формулах она становится аргументом одного из множителей.
Полуразность аргументов — выражение (α − β)/2. Она показывает, насколько аргументы отличаются друг от друга, с учётом деления разности пополам. Порядок важен: если поменять α и β местами, полуразность сменит знак, поэтому при преобразовании нужно внимательно следить за тем, какой аргумент вычитается.
Формулы преобразования суммы и разности — тождества, связывающие суммы синусов или косинусов с произведениями синусов и косинусов. Тождество верно при любых значениях аргументов, поэтому его можно применять как слева направо, так и справа налево. Это позволяет выбирать удобную форму выражения для дальнейших вычислений.
Формулы сложения и вычитания синуса и косинуса содержат выражения вида x + y и x − y. Чтобы использовать их для аргументов α и β, удобно подобрать x и y так, чтобы x + y = α, а x − y = β. Решение этой пары равенств даёт x = (α + β)/2 и y = (α − β)/2. Поэтому в формулах преобразования появляются полусумма и полуразность: они позволяют точно восстановить исходные аргументы.
Проверить эту замену можно подстановкой: α = (α + β)/2 + (α − β)/2, а β = (α + β)/2 − (α − β)/2. В первой сумме половины β взаимно уничтожаются, и остаётся α; во второй аналогично получается β. Значит, обозначив полусумму через x, а полуразность через y, можно записать α = x + y и β = x − y и применить знакомые формулы сложения.
Для суммы синусов запишем sin α = sin(x + y) и sin β = sin(x − y). По формулам сложения это sin x cos y + cos x sin y и sin x cos y − cos x sin y соответственно. При сложении выражений слагаемые cos x sin y сокращаются, а два одинаковых слагаемых sin x cos y дают 2 sin x cos y. Возвращая значения x и y, получаем формулу суммы синусов.
Для косинусов используем cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y и cos(x − y) = cos x cos y + sin x sin y. При сложении части с sin x sin y сокращаются, а два слагаемых cos x cos y дают формулу суммы косинусов. При вычитании, наоборот, части cos x cos y сокращаются, а разность −sin x sin y − sin x sin y даёт −2 sin x sin y; отсюда появляется минус в формуле cos α − cos β.
Разность синусов получается, если вычесть sin(x − y) из sin(x + y): слагаемые sin x cos y сокращаются, а два слагаемых cos x sin y дают 2 cos x sin y. Так возникают четыре формулы для сумм и разностей. Их можно применять и в обратном направлении: произведение иногда удобнее представить суммой, например при упрощении выражения или поиске его значений.
| Исходное выражение | Результат преобразования |
|---|---|
| sin α + sin β | 2 sin((α + β)/2) cos((α − β)/2) |
| sin α − sin β | 2 cos((α + β)/2) sin((α − β)/2) |
| cos α + cos β | 2 cos((α + β)/2) cos((α − β)/2) |
| cos α − cos β | −2 sin((α + β)/2) sin((α − β)/2) |
Сначала найдите полусумму и полуразность именно тех аргументов, которые стоят в исходном выражении, а затем выберите строку с подходящей функцией и знаком. Если в разности поменять аргументы местами, необходимо пересчитать полуразность. Проверяйте также множитель 2 и минус в формуле разности косинусов.
Задача 1. Преобразовать sin 5x + sin x в произведение. Оба слагаемых — синусы, соединённые знаком плюс, поэтому выбираем формулу суммы синусов. Сначала отдельно находим полусумму и полуразность аргументов 5x и x.
Ответ: 2 sin 3x cos 2x. Такое произведение может быть удобнее исходной суммы, например если всё выражение приравнено к нулю.
Задача 2. Преобразовать cos 3x − cos 7x в произведение. Здесь важно сохранить порядок: α = 3x, β = 7x, поскольку именно первое слагаемое минусуется из второго. Используем формулу cos α − cos β с минусом перед произведением.
Ответ: 2 sin 5x sin 2x. Два минуса сокращаются, поэтому итоговое произведение положительное.
Задача 3. Решить sin 5x + sin x = 0 на промежутке [0; 2π). Сначала используем результат первой задачи: уравнение превращается в произведение 2 sin 3x cos 2x, равное нулю. Произведение равно нулю, когда нулём становится хотя бы один из его множителей.
Ответ: x = 0, π/4, π/3, 3π/4, 2π/3, 5π/4, π, 7π/4, 4π/3, 5π/3, 7π/3, 11π/4. Корни записаны в порядке возрастания, а число 2π не включено, поскольку правый конец промежутка открыт.
Забывают делить сумму и разность аргументов на 2 и подставляют в формулу α + β вместо (α + β)/2. Обычно так происходит, когда формулу вспоминают по частям и сразу подставляют аргументы. Проверка: вычислите полусумму и полуразность отдельно до подстановки, а затем убедитесь, что их сумма и разность возвращают исходные аргументы.
Меняют порядок аргументов в полуразности, но оставляют прежний знак результата. Это особенно опасно в формулах разности синусов и косинусов, потому что знак зависит от того, какое выражение записано первым. Проверяйте себя по исходной записи: для sin α − sin β и cos α − cos β берите α именно из первого слагаемого, β — из второго.
Путают формулы суммы синусов и суммы косинусов, выбирая функции в множителях по памяти. Причина — похожая запись полусуммы и полуразности в обеих формулах. В сумме синусов используются sin полусуммы и cos полуразности, а в сумме косинусов — два косинуса; сверяйте оба множителя с таблицей.
Теряют множитель 2 или минус в формуле cos α − cos β, механически вспоминая результат. Эти части появляются из сложения одинаковых слагаемых и вычитания формул косинуса, поэтому их нельзя опускать. Для самопроверки выведите нужную формулу из формул сложения либо подставьте простые значения аргументов и сравните обе части.
Для вывода формул преобразования нужны формулы сложения и вычитания синуса и косинуса: именно они позволяют раскрыть функции от суммы и разности аргументов. Поэтому, если формула преобразования не запоминается, её можно восстановить через полусумму и полуразность. Полученные тождества применяются при упрощении тригонометрических выражений, доказательстве тождеств и решении уравнений. В уравнениях переход к произведению часто позволяет использовать правило нулевого произведения.
Почему в формулах появляются половины суммы и разности аргументов?
Аргументы представляют как α = (α + β)/2 + (α − β)/2 и β = (α + β)/2 − (α − β)/2. Тогда формулы сложения позволяют сложить или вычесть выражения с этими аргументами, и возникают полусумма с полуразностью.
Как не перепутать формулы суммы синусов и суммы косинусов?
В сумме синусов в произведении стоят синус полусуммы и косинус полуразности. В сумме косинусов оба множителя — косинусы: один от полусуммы, другой от полуразности.
Почему в формуле разности косинусов стоит знак минус?
При вычитании формул сложения косинусов получается множитель cos y − cos y? Точнее, слагаемые с косинусами полуразности сокращаются, а оставшаяся часть равна −2 sin x sin y. Поэтому перед произведением стоит минус.
Можно ли применять эти формулы, если аргументы содержат переменную?
Да, аргументами α и β могут быть любые выражения, в том числе с переменной. Нужно подставить их в формулу целиком и вычислить полусумму и полуразность.
Как решать уравнение после преобразования суммы в произведение?
Сначала замените сумму произведением, затем используйте свойство: произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю. Решите полученные уравнения и оставьте только корни из заданного промежутка.
§ 22. Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения
