"Математика. 10 класс. (базовый уровень)", Мордкович А.Г., Смирнова И.М.
Произведение синусов и косинусов можно заменить суммой или разностью тригонометрических функций. Такие преобразования помогают упрощать выражения, доказывать тождества и вычислять суммы. Для выбора формулы достаточно определить вид множителей и подставить их аргументы, то есть углы, стоящие внутри функций. Во всех формулах появляется множитель ½, а знаки зависят от того, какие функции перемножаются.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Преобразование произведения в сумму — замена произведения тригонометрических функций суммой или разностью функций. Например, произведение двух синусов можно представить через косинусы. Такой приём нужен, когда сумму функций проще упростить или использовать в дальнейших вычислениях, чем исходное произведение.
Формула произведения синусов — равенство, выражающее sin α · sin β через косинусы разности и суммы углов. В записи α и β обозначают аргументы синусов, то есть углы или выражения, стоящие внутри функций. Формула помогает заменить сразу оба синуса косинусами и правильно расставить знаки.
Формула произведения косинусов — равенство, выражающее cos α · cos β через сумму косинусов разности и суммы углов. Здесь также α и β — аргументы множителей. По этой формуле произведение двух косинусов удобно переводить в два слагаемых, не путая знак между ними.
Формула произведения синуса и косинуса — равенство, выражающее sin α · cos β через сумму синусов суммы и разности углов. Важно различать, какой аргумент относится к синусу, а какой — к косинусу: их положение определяет запись разности. Это позволяет избежать лишнего минуса при преобразовании.
Формулы преобразования произведений следуют из формул сложения синуса и косинуса. В формулах сложения уже встречаются произведения синусов и косинусов, поэтому можно сложить или вычесть два подходящих равенства. При этом часть слагаемых сокращается, а оставшиеся выражаются через нужное произведение. Деление обеих частей на 2 и даёт множитель ½ в итоговых формулах.
Для произведения синусов используют разность формул косинуса суммы и косинуса разности. В cos(α − β) стоит +2 sin α · sin β, а в cos(α + β) — −2 sin α · sin β. Если вычесть косинус суммы из косинуса разности, то косинусы разности углов окажутся со знаком плюс, а косинусы суммы — со знаком минус. Поэтому формула имеет вид ½(cos(α − β) − cos(α + β)), а не наоборот.
При произведении косинусов складывают формулы косинуса суммы и косинуса разности. Члены с синусами имеют противоположные знаки и взаимно уничтожаются, зато части cos α · cos β складываются. Остаётся удвоенное произведение косинусов, равное сумме двух косинусов. Отсюда оба слагаемых в формуле имеют одинаковый знак плюс.
Чтобы преобразовать синус и косинус, рассматривают формулы синуса суммы и разности. При их сложении появляются два одинаковых слагаемых с произведением sin α · cos β, а остальные члены сокращаются. Так получается выражение через sin(α + β) и sin(α − β). Если множители переставлены, как в cos α · sin β, возникает другой знак перед синусом разности; поэтому порядок аргументов нужно проследить отдельно.
Выбирая формулу, сначала определяют тип обоих множителей, а не пытаются подобрать её по виду аргументов. Затем первый аргумент подставляют вместо α, второй — вместо β, сохраняя порядок и знаки между ними. После подстановки отдельно вычисляют сумму и разность аргументов: например, для 5x и 2x это 7x и 3x. В конце проверяют, что не потерян множитель ½ и перед слагаемыми стоят нужные знаки.
| Вид произведения | Формула |
|---|---|
| sin α · sin β | sin α · sin β = ½(cos(α − β) − cos(α + β)) |
| cos α · cos β | cos α · cos β = ½(cos(α − β) + cos(α + β)) |
| sin α · cos β | sin α · cos β = ½(sin(α + β) + sin(α − β)) |
| cos α · sin β | cos α · sin β = ½(sin(α + β) − sin(α − β)) |
Сначала найдите в левом столбце тип своего произведения, затем подставьте аргументы в выбранную формулу. В последней строке порядок множителей отличается от строки выше, поэтому отличается и знак перед разностью синусов. После подстановки вычислите сумму и разность аргументов отдельно.
Здесь перемножаются синус и косинус, поэтому выбираем формулу для sin α · cos β. Первый аргумент равен 5x, второй — 2x; важно не менять их местами. Теперь найдём аргументы двух синусов в правой части формулы.
В результате произведение заменено суммой синусов, а множитель ½ сохранён. Быстрая проверка: при умножении синуса на косинус в этой строке формулы между синусами стоит плюс. Ответ: ½(sin 7x + sin 3x).
Оба множителя — косинусы, значит, нужна формула произведения косинусов. В ней присутствуют косинус разности и косинус суммы, причём оба со знаком плюс. Подставим аргументы в указанном порядке и вычислим каждый угол.
Здесь упрощение состоит в вычислении суммы и разности аргументов, а не в удалении множителя ½. Получившееся выражение уже является суммой косинусов с коэффициентом ½. Ответ: ½(cos 4x + cos 10x).
В выражении два произведения, поэтому преобразуем каждое по своей формуле. У синусов формула содержит разность косинусов, а у косинусов — их сумму. Аргументы в обоих произведениях одинаковы, поэтому после подстановки часть слагаемых сократится.
Слагаемые с cos 6x сокращаются, потому что у них противоположные знаки. Два слагаемых с cos 2x складываются и вместе с коэффициентами ½ дают cos 2x. Ответ: cos 2x.
В формуле произведения синусов иногда меняют местами знаки, записывая косинус разности со знаком минус. Путаница возникает потому, что в формуле присутствуют и сумма, и разность углов. Проверьте: перед cos(α − β) стоит плюс, а перед cos(α + β) — минус.
При переписывании формулы можно забыть множитель ½ и оставить только сумму или разность функций. Обычно внимание сосредоточено на аргументах, а коэффициент кажется несущественным. Сверьте результат с полной строкой таблицы: множитель ½ есть во всех четырёх формулах.
Разность аргументов раскрывают неверно: например, 3x − 5x записывают как 2x. Так бывает, если вычитают коэффициенты без учёта порядка или теряют отрицательный знак. Подставьте аргументы в исходном порядке и выполните вычитание как алгебраическое действие: 3x − 5x = −2x.
Формулу для произведения синуса и косинуса применяют к двум синусам или двум косинусам. Ошибка возникает, если ориентироваться на аргументы, а не на названия функций. Перед выбором формулы назовите оба множителя и найдите строку с таким же сочетанием; затем проверьте её знаки.
Для вывода и применения формул преобразования нужно знать формулы сложения и вычитания синуса и косинуса. Также понадобятся обычные правила действий с алгебраическими выражениями: раскрытие скобок, сложение подобных слагаемых и вычитание многочленов. Они позволяют правильно вычислять аргументы вроде 5x − 2x и не терять знаки.
Преобразование произведений пригодится при упрощении тригонометрических выражений и доказательстве тождеств. Оно также помогает вычислять суммы, когда слагаемые после преобразования взаимно сокращаются. Поэтому умение выбирать формулу важно не только для замены произведения, но и для дальнейших преобразований выражения.
Как определить, какую формулу преобразования произведения выбрать?
Сначала посмотрите на множители: синус с синусом, косинус с косинусом или синус с косинусом. Затем найдите подходящую строку в таблице и подставьте аргументы в том же порядке.
Почему в формуле произведения синусов стоит разность косинусов?
При вычитании формул косинуса суммы и разности члены с произведением синусов складываются, а остальные сокращаются. После переноса и деления на 2 получается cos(α − β) − cos(α + β).
Всегда ли в формулах преобразования произведения появляется множитель ½?
Да, во всех четырёх формулах множитель ½ обязателен. Он появляется при сложении или вычитании формул сложения и выделении произведения.
Как учитывать порядок аргументов в разности углов?
Вычитайте второй аргумент из первого, не меняя порядок без причины: α − β и β − α — противоположные выражения. Для синуса это особенно существенно, поскольку sin(β − α) = −sin(α − β).
Можно ли применять эти формулы, если аргументы содержат переменную?
Да, аргументами могут быть выражения с переменной, например 5x и 2x. Нужно подставить их в формулу и внимательно вычислить сумму и разность этих выражений.
§ 23. Преобразование произведений тригонометрических функций в суммы
