§ 24. Предел последовательности

Определения и обозначения

Числовая последовательность — это функция, заданная на натуральных числах: каждому номеру n она ставит в соответствие число aₙ. Число aₙ называют членом последовательности с номером n, а запись (aₙ) обозначает всю последовательность: a₁, a₂, a₃ и так далее. Такая запись помогает кратко описывать бесконечный набор чисел, заданный одним правилом.

Число a называют пределом последовательности, если её члены приближаются к a при неограниченном росте номера n. Записывают lim aₙ = a или aₙ → a. Предел нужен, чтобы выразить числом установившееся поведение последовательности, даже когда её члены меняются и никогда не достигают этого числа.

Сходящейся называют последовательность, у которой есть конечный предел. Это значит, что начиная с некоторого номера её члены можно сделать сколь угодно близкими к пределу. Такое свойство позволяет не следить за каждым членом по отдельности, а описывать их поведение при больших номерах.

Бесконечно малая последовательность — это последовательность, предел которой равен нулю. Её кратко описывают записью aₙ → 0. Это понятие удобно, когда нужно показать, что некоторый остаток или погрешность со временем становится меньше любой заранее заданной положительной величины.

Как это устроено

Наглядно предел можно представить как цель, к которой приближаются члены последовательности. Например, члены могут располагаться всё ближе к числу a, не совпадая с ним ни разу. Поэтому для существования предела не требуется, чтобы a было одним из членов; достаточно того, что расстояние до a становится сколь угодно малым.

Строгое определение выражает идею близости через точность ε. Мы выбираем любое ε > 0, то есть любую допустимую погрешность, и требуем, чтобы для всех достаточно больших n выполнялось |aₙ − a| < ε. Модуль разности — это расстояние между членом aₙ и предполагаемым пределом a. Если условие выполняется при любой выбранной точности, то a действительно является пределом.

Номер N указывает, с какого места нужно проверять члены последовательности. Он зависит от ε: при более строгой точности может понадобиться больший номер. После выбранного N условие должно выполняться не для одного удачного члена и не только для нескольких следующих, а для каждого n > N.

Проверим идею на aₙ = 1/n и предполагаемом пределе 0. Для любой точности ε > 0 можно выбрать натуральный N так, чтобы N > 1/ε; тогда при n > N имеем |1/n − 0| = 1/n < ε. Значит, после этого номера каждый член окажется ближе к нулю, чем заданная точность, и предел равен нулю.

Определение говорит о членах с большими номерами, поэтому конечное число первых членов не влияет на предел. Если изменить, например, только a₁ и a₂, то можно выбрать N больше двух, и все дальнейшие члены останутся прежними. Значит, условие близости после этого номера будет тем же самым.

Примеры последовательностей и их пределов

Сначала сравните несколько членов с предполагаемым пределом, а затем обоснуйте вывод их поведением при больших n. Для строгого доказательства сходящегося примера нужно проверить условие с ε и N. Если члены продолжают заметно удаляться друг от друга или не подходят к одному числу, конечного предела нет.

Разбор задач

Задача 1

Условие: для последовательности aₙ = 1/n укажите предполагаемый предел и объясните его наглядно. Сначала выпишем несколько членов, чтобы увидеть направление изменения. Затем проверим, к какому числу они становятся ближе.

1. Первые члены последовательности равны 1, ½, ⅓, ¼ и ⅕. Их значения положительны, но с ростом n становятся всё меньше.
2. Знаменатель n можно взять сколь угодно большим. Поэтому дробь 1/n становится меньше любого заданного положительного числа.
3. Члены приближаются к нулю, хотя каждый из них остаётся положительным и не равен нулю. Следовательно, предполагаемый предел — 0.

Ответ: lim 1/n = 0. Здесь наглядный пример показывает, что предел не обязан быть членом последовательности. Для строгого доказательства нужно дополнительно подобрать N для любой заданной точности ε.

Задача 2

Условие: докажите по определению, что lim (n + 1)/n = 1. По определению нужно для любого ε > 0 найти N, после которого модуль разности с числом 1 меньше ε. Поэтому начнём с этой разности и упростим её.

1. Вычтем предполагаемый предел: |(n + 1)/n − 1| = |(n + 1 − n)/n| = 1/n.
2. Теперь требуется, чтобы 1/n < ε. Это неравенство будет верным, если n > 1/ε.
3. Для данного ε выберем натуральное N > 1/ε. Тогда при любом n > N получим |(n + 1)/n − 1| = 1/n < ε.

Ответ: предел равен 1. Выбор N зависит от заданной точности, а доказательство охватывает все n после N. Значит, выполнено строгое определение предела.

Задача 3

Условие: докажите по определению, что lim 3/(2n − 1) = 0. Здесь нужно оценить расстояние от члена последовательности до нуля. При больших n знаменатель растёт, поэтому дробь становится меньше.

1. Для n ≥ 1 имеем 2n − 1 ≥ n, поэтому 0 < 3/(2n − 1) ≤ 3/n. Следовательно, достаточно сделать меньше ε верхнюю оценку 3/n.
2. Неравенство 3/n < ε равносильно n > 3/ε. Для заданного ε > 0 выберем натуральное N > 3/ε.
3. При любом n > N получаем |3/(2n − 1) − 0| = 3/(2n − 1) ≤ 3/n < ε. Значит, требуемая близость выполняется для всех таких n.

Ответ: lim 3/(2n − 1) = 0. Мы выбрали номер по заданной точности и проверили условие для любого следующего члена. Это и есть доказательство по определению.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что предел обязан совпадать с одним из членов последовательности. Так думают, потому что смешивают число, к которому члены приближаются, с самими членами. Например, 1/n стремится к нулю, хотя ни один член не равен нулю; проверяйте, требуется ли достижение числа или только сколь угодно малая разность.

Ошибка: судить о пределе по нескольким первым членам. Начало может выглядеть близким к числу, но позднее поведение последовательности будет другим. Определение требует проверить все n после некоторого N, поэтому ищите обоснование, которое работает для любого такого n.

Ошибка: выбирать N, не учитывая ε. Один и тот же номер может обеспечить грубую точность, но не более строгую. Подставьте выбранный N в нужное неравенство и убедитесь, что оно даёт именно |aₙ − a| < ε для заданного ε.

Ошибка: считать, что сходящаяся последовательность обязана монотонно приближаться к пределу. Это предположение возникает из наглядных примеров, где члены только убывают или возрастают. Проверьте, требует ли определение монотонности: нет, нужно лишь выполнение условия близости после N, даже если члены колеблются.

Связь с другими темами

Для работы с пределами нужно уметь обращаться с натуральными числами, модулем и неравенствами, а также понимать запись числовой последовательности. Модуль помогает выразить расстояние до предполагаемого предела, а неравенства — подобрать подходящий номер N. Позже предел последовательности станет опорой для изучения пределов функций, непрерывности и производной. В этих темах также исследуют поведение величин при приближении к заданному значению.

Что запомнить

• Предел описывает поведение членов последовательности при больших номерах.
• В определении предела точность ε выбирается произвольно.
• Номер N зависит от ε.
• После N условие близости должно выполняться для каждого члена.
• Изменение конечного числа членов не меняет предел.
• Бесконечно малая последовательность имеет предел, равный нулю.