"Математика. 10 класс. (базовый уровень)", Мордкович А.Г., Смирнова И.М.
Бесконечная геометрическая прогрессия — последовательность, в которой каждый следующий член получают умножением предыдущего на одно и то же число. Если это число по модулю меньше единицы, члены прогрессии становятся всё ближе к нулю, а суммы всё большего числа первых членов приближаются к конечному значению. Такое значение называют суммой бесконечной прогрессии и находят по формуле S = b₁/(1 − q). Она помогает вычислять суммы повторяющихся уменьшений, например высоты подскоков мяча.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Бесконечная геометрическая прогрессия — последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, получается умножением предыдущего на одно и то же число. Например, в последовательности 3, 6, 12, … каждый раз умножают на 2. Такая запись с многоточием означает, что правило продолжается без конца. Это определение помогает распознать прогрессию в задаче.
Знаменатель геометрической прогрессии q — число, на которое умножают каждый член, чтобы получить следующий. Если первый член не равен нулю, знаменатель можно найти как отношение соседних членов: q = b₂/b₁. Так, у последовательности 8, 4, 2, … знаменатель равен 4/8 = ½. Зная q, можно описать всю прогрессию, начиная с первого члена.
Сходящаяся бесконечная геометрическая прогрессия — прогрессия, у которой суммы всё большего числа первых членов стремятся к конечному пределу. Сумму первых n членов называют частичной суммой и обозначают Sₙ. Например, при последовательном сложении положительных уменьшающихся членов итог может приближаться к определённому числу. Понятие сходимости позволяет выяснить, имеет ли смысл говорить об общей конечной сумме.
Сумма бесконечной геометрической прогрессии — предел последовательности её частичных сумм, если такой предел существует. Для геометрической прогрессии конечная сумма существует при |q| < 1. Это условие нужно проверить прежде, чем применять формулу суммы. При его выполнении бесконечно много слагаемых вместе дают конечный результат.
Если первый член равен b₁, а знаменатель равен q, то члены прогрессии записываются так: b₁, b₁q, b₁q², … . У первого члена множитель q ещё не встречается, у второго он появляется один раз, у третьего — дважды. Поэтому у n-го члена множитель равен qⁿ⁻¹, и общий член имеет вид bₙ = b₁qⁿ⁻¹. Эта формула позволяет получить любой член без последовательного вычисления предыдущих.
Чтобы найти сумму первых n членов, обозначим её Sₙ и запишем все слагаемые: Sₙ = b₁ + b₁q + … + b₁qⁿ⁻¹. Умножим это равенство на q: qSₙ = b₁q + b₁q² + … + b₁qⁿ. При вычитании второе равенство убирает почти все одинаковые слагаемые, и остаётся Sₙ(1 − q) = b₁(1 − qⁿ). Поэтому при q ≠ 1 получаем Sₙ = b₁(1 − qⁿ)/(1 − q). Вычитание удобно именно потому, что члены прогрессии отличаются постоянным множителем.
Для конечной суммы важно, чтобы слагаемые становились сколь угодно малыми. Если |q| < 1, при возведении q в большие степени его модуль уменьшается, так что qⁿ стремится к нулю. Если же |q| ≥ 1, степени q не стремятся к нулю, а вместе с ними не исчезают и члены прогрессии; тогда частичные суммы не могут прийти к конечному пределу. Поэтому условие сходимости здесь не формальность, а причина существования суммы.
При |q| < 1 в формуле Sₙ = b₁(1 − qⁿ)/(1 − q) можно перейти к пределу при n, стремящемся к бесконечности. Поскольку qⁿ стремится к нулю, множитель 1 − qⁿ приближается к 1, и остаётся S = b₁/(1 − q). Формула применима только после проверки |q| < 1. Она получается из суммы конечного числа членов, а не задаётся независимо от неё.
Знак q определяет, будут ли члены иметь одинаковые или разные знаки. При 0 < q < 1 все члены имеют знак первого члена и постепенно уменьшаются по модулю. При −1 < q < 0 знаки чередуются, потому что каждый раз происходит умножение на отрицательное число. В обоих случаях степени q стремятся к нулю, поэтому действует та же формула S = b₁/(1 − q), причём отрицательное q нельзя заменять его модулем.
| Что рассматриваем | Условие или формула | Что это означает |
|---|---|---|
| Общий член прогрессии | bₙ = b₁qⁿ⁻¹ | Каждый следующий член в q раз больше предыдущего |
| Условие существования суммы | |q| < 1 | Члены прогрессии стремятся к нулю, а частичные суммы имеют конечный предел |
| Сумма первых n членов | Sₙ = b₁(1 − qⁿ)/(1 − q), q ≠ 1 | Сумма конечного числа членов |
| Сумма бесконечной прогрессии | S = b₁/(1 − q), |q| < 1 | Предел частичных сумм |
Сначала определите, какую величину ищете: отдельный член, частичную сумму или сумму бесконечной прогрессии. Для последней проверьте условие |q| < 1, а затем используйте соответствующую строку таблицы. Если q отрицательный, подставляйте его в формулы со знаком.
Нужно проверить, уменьшаются ли члены с постоянным отношением, а затем применить формулу бесконечной суммы. Важно не перепутать направление деления при поиске знаменателя: следующий член делят на предыдущий. После этого можно проверить условие сходимости.
Ответ: 16.
Здесь знаки членов меняются, поэтому знаменатель должен быть отрицательным. Найдём его по отношению второго члена к первому и проверим, что следующий переход даёт то же значение. Отрицательный знак сохраняем при подстановке в формулу.
Ответ: 0,25.
Мяч бросили с высоты 10 м, а каждый следующий подскок достигает 0,6 высоты предыдущего. Требуется сложить высоты всех подскоков, но не высоту первоначального броска. Первый отскок составляет 0,6 от 10 м, а остальные образуют геометрическую прогрессию с тем же отношением.
Ответ: суммарная высота всех подскоков — 15 м.
Формулу суммы применяют при |q| ≥ 1, хотя она в этих условиях не даёт конечной суммы. Ошибка возникает, когда запоминают формулу отдельно от условия её применения. Для проверки вычислите модуль q: если он не меньше единицы, переходить к формуле суммы бесконечной прогрессии нельзя.
Сумму бесконечной прогрессии путают с суммой первых n членов. В результате в формулу для Sₙ подставляют произвольное n или забывают перейти к пределу. Проверьте, сколько членов требуется сложить: для конечного количества используют Sₙ, а для бесконечного — предел при |q| < 1.
Знаменатель иногда находят, деля предыдущий член на следующий, а не следующий на предыдущий. Так отношение получается обратным и может привести к неверному выводу о сходимости. Перепроверьте, что умножение предыдущего члена на найденное q даёт следующий: bₙq = bₙ₊₁.
При отрицательном q теряют знак или вместо 1 − q записывают 1 − |q|. Это происходит, когда считают, что чередование знаков можно не учитывать при вычислении. Подставьте q в скобки со знаком: например, при q = −0,2 знаменатель формулы равен 1 − (−0,2) = 1,2.
Чтобы работать с бесконечной геометрической прогрессией, нужно знать её определение, формулу n-го члена и формулу суммы первых n членов. Последняя помогает вывести формулу бесконечной суммы: достаточно рассмотреть предел частичных сумм. Поэтому новая тема опирается на уже знакомые свойства конечной геометрической прогрессии.
Такие суммы встречаются в задачах, где величина при каждом повторении уменьшается в одно и то же число раз. Например, высоты подскоков мяча образуют прогрессию, если каждый отскок составляет постоянную долю предыдущего. Бесконечные прогрессии также помогают записывать некоторые периодические десятичные дроби в виде обыкновенных дробей.
Почему бесконечная геометрическая прогрессия имеет сумму только при |q| < 1?
При |q| < 1 степени qⁿ стремятся к нулю, поэтому очередные члены становятся всё меньше, а частичные суммы приближаются к конечному пределу. Если |q| ≥ 1, члены прогрессии не стремятся к нулю, и сумма частичных сумм не имеет конечного предела.
Как найти знаменатель геометрической прогрессии?
Раздели любой член, начиная со второго, на предыдущий: q = bₙ₊₁/bₙ. Например, для последовательности 8, 4, 2 получаем q = 4/8 = ½.
Чем сумма бесконечной прогрессии отличается от суммы первых n членов?
Сумма первых n членов складывает только заданное конечное количество элементов и обозначается Sₙ. Сумма бесконечной прогрессии — это предел таких частичных сумм при увеличении n; он существует при |q| < 1.
Можно ли использовать формулу суммы, если знаменатель отрицательный?
Да, если −1 < q < 0: члены чередуют знаки, но уменьшаются по модулю, и прогрессия сходится. В формулу S = b₁/(1 − q) подставляют q вместе с его знаком.
Как понять, что в задаче нужно составить бесконечную геометрическую прогрессию?
Ищи повторяющееся действие, при котором каждый новый результат равен одной и той же доле предыдущего. Если таких повторений бесконечно много, а доля по модулю меньше единицы, величины образуют бесконечную геометрическую прогрессию с конечной суммой.
§ 25. Сумма бесконечной геометрической прогрессии
