§ 26. Предел функции

Определения и обозначения

Предел функции при x, стремящемся к a, — это число A, к которому приближаются значения f(x), когда x приближается к a. Запись lim(x→a) f(x) = A читают: «предел f(x) при x, стремящемся к a, равен A». Она нужна, чтобы описать поведение функции около точки, не обращаясь только к её значению в этой точке.

Предел функции слева — значение, к которому стремится f(x), когда x приближается к a со стороны чисел, меньших a. Его обозначают lim(x→a−) f(x), где знак «−» указывает сторону приближения. Такая запись помогает отдельно исследовать поведение функции слева от точки.

Предел функции справа — значение, к которому стремится f(x), когда x приближается к a со стороны чисел, больших a. Обозначение lim(x→a+) f(x) показывает, что рассматривается только эта сторона. Односторонние пределы нужны, чтобы выяснить, одинаково ли ведёт себя функция по разные стороны от точки.

Бесконечный предел означает, что значения функции неограниченно возрастают или убывают, когда аргумент приближается к заданному числу. В записи указывают, к чему стремится x, а предел обозначают через ∞ или −∞. Это описывает не приближение к числу, а неограниченное поведение функции.

Как это устроено

Предел рассматривает не отдельное значение f(a), а значения функции при аргументах рядом с a. Поэтому функция может быть не определена в точке, но иметь предел: для него достаточно, чтобы значения поблизости приближались к одному числу. Даже если f(a) существует, оно не обязано совпадать с пределом, поскольку сама точка не определяет поведение функции вокруг себя.

Смысл приближения к A можно представить так: чем ближе x к a, тем ближе f(x) к A. При этом x не обязательно равен a — рассматриваются значения, сколь угодно близкие к нему. Такое понимание позволяет описывать тенденцию функции независимо от того, какое значение она принимает в самой точке.

При поиске двустороннего предела важно проверить обе стороны, потому что функция может подходить к точке по-разному. Если значения слева стремятся к одному числу, а справа — к другому, единого A для всей окрестности нет. Поэтому общий предел существует лишь тогда, когда конечные односторонние пределы совпадают.

Для рациональной функции часто начинают с подстановки значения a: если знаменатель не обращается в ноль, полученное значение обычно и есть предел. Если после подстановки получается 0/0, дробь пока не позволяет определить результат: одинаково нулевые числитель и знаменатель могут скрывать разное поведение. Разложение на множители и сокращение общего множителя раскрывают выражение для x рядом с a, после чего предел можно найти подстановкой.

Бесконечный предел появляется, когда значения функции по модулю становятся сколь угодно большими при приближении x к точке. Знак зависит от того, принимает ли функция большие положительные или отрицательные значения. Слева и справа поведение может быть разным, поэтому стороны исследуют отдельно, как и для конечного предела.

Виды предела и их смысл

Сначала определите, с какой стороны приближается аргумент и ожидается ли конечное значение. Для двустороннего предела сопоставьте результаты для левой и правой сторон. Если значения функции неограниченно растут, используйте строку о бесконечном пределе.

Разбор задач

Задача 1. Найти lim(x→2)(3x + 1). Здесь дана линейная функция, определённая при любом x. Поэтому можно проверить предел прямой подстановкой: если значение выражения получается обычным числом, дополнительных преобразований не требуется.

1. Подставим x = 2: 3 · 2 + 1.
2. Выполним вычисления: 6 + 1 = 7. Неопределённости нет, значит, предел равен полученному значению.

Ответ: 7.

Задача 2. Найти lim(x→1) (x² − 1)/(x − 1). Прямая подстановка даёт 0/0, поэтому пока нельзя заключить, чему равен предел. Числитель можно представить как разность квадратов и сократить общий множитель для x рядом с 1.

1. Подставим x = 1: (1² − 1)/(1 − 1) = 0/0. Это неопределённость, а не нулевое значение предела.
2. Разложим числитель: x² − 1 = (x − 1)(x + 1). При x ≠ 1 дробь равна x + 1 после сокращения множителя x − 1.
3. Найдём предел преобразованного выражения: lim(x→1)(x + 1) = 1 + 1 = 2. Сокращение допустимо для значений рядом с точкой, хотя исходная дробь в самой точке не определена.

Ответ: 2.

Задача 3. Определить, существует ли lim(x→0) 1/x. При подстановке знаменатель обращается в ноль, поэтому нужно выяснить поведение дроби отдельно слева и справа. Если односторонние пределы различны, общего двустороннего предела нет.

1. При x → 0− знаменатель отрицателен и по модулю становится очень малым, поэтому 1/x убывает без ограничения: lim(x→0−) 1/x = −∞.
2. При x → 0+ знаменатель положителен и по модулю становится очень малым, поэтому 1/x возрастает без ограничения: lim(x→0+) 1/x = ∞.
3. Поведение слева и справа различается, следовательно, единого двустороннего предела в нуле нет.

Ответ: предел lim(x→0) 1/x не существует.

Типичные ошибки

Считать, что предел всегда равен f(a), — ошибка: предел задаётся поведением функции рядом с точкой, а не её значением в ней. Так думают, потому что смешивают подстановку и приближение аргумента. Проверьте, определена ли функция в точке и какие значения она принимает поблизости.

После получения 0/0 нельзя объявлять предел равным нулю. Эта запись возникает, когда подстановка не позволяет определить результат, и именно поэтому кажется неопытному решающему готовым ответом. Проверьте, можно ли разложить выражение на множители или иначе преобразовать его, а затем заново найти предел.

Исследовать только одну сторону недостаточно для двустороннего предела. Причина ошибки — привычка подставлять числа, приближающиеся к точке лишь с одной стороны. Для самопроверки отдельно установите левый и правый пределы и убедитесь, что они совпадают.

Бесконечность не является числом, к которому функция приближается. Такая трактовка возникает из-за привычной формулировки «предел равен бесконечности», но запись означает неограниченный рост или убывание значений. Проверьте, становятся ли значения сколь угодно большими по модулю и каков их знак.

Связь с другими темами

Для изучения пределов нужны понятия функции, области определения и значения функции. Также важно уметь подставлять число в выражение и замечать, обращается ли знаменатель дроби в ноль. Эти знания помогают сначала проверить прямую подстановку, а затем понять, требуется ли преобразование.

Пределы становятся основой для изучения непрерывности и производной. С помощью предела описывают, как функция ведёт себя около точки, и как меняются её значения при изменении аргумента. Поэтому умение различать односторонний и двусторонний предел пригодится в следующих темах.

Что запомнить

• Предел характеризует поведение функции вблизи точки.
• Значение функции в точке не обязано совпадать с пределом.
• Двусторонний предел существует, если совпадают пределы слева и справа.
• Подстановка — первый способ проверить, можно ли найти предел непосредственно.
• Неопределённость 0/0 требует преобразования выражения.
• Бесконечный предел означает неограниченное поведение функции.