§ 27. Определение производной

Определения и обозначения

Приращение аргумента Δx — это изменение аргумента от x₀ до x₀ + Δx. Оно может быть положительным или отрицательным, потому что новое значение аргумента может быть больше или меньше исходного. При вычислении отношения приращений Δx не равен нулю: на ноль делить нельзя. Эта величина задаёт, насколько далеко по оси x мы переместились от начальной точки.

Приращение функции Δy — изменение значения функции при переходе от x₀ к x₀ + Δx. Его вычисляют по формуле Δy = f(x₀ + Δx) − f(x₀). Порядок вычитания важен: сначала берут новое значение, затем вычитают исходное. Приращение нужно, чтобы измерить именно изменение функции, а не её значение в одной точке.

Отношение приращений Δy/Δx показывает, как в среднем меняется функция при изменении аргумента на выбранном промежутке. На графике значениям f(x₀) и f(x₀ + Δx) соответствуют две точки. Прямая через них называется секущей, а отношение приращений равно её угловому коэффициенту. Значит, это отношение одновременно имеет числовой и геометрический смысл.

Производная функции в точке x₀ — предел отношения приращений при Δx → 0, если этот предел существует. Записывают f′(x₀) или y′(x₀): f′(x₀) = lim при Δx → 0 от Δy/Δx. Само Δx при этом остаётся ненулевым, но становится сколь угодно малым. Производная описывает изменение функции именно в точке, а не на конечном промежутке.

Как это устроено

Чтобы исследовать изменение функции, сначала выбирают исходный аргумент x₀ и сдвигают его на Δx. Новое значение аргумента равно x₀ + Δx, а функции — f(x₀ + Δx). Разность двух значений функции даёт Δy, то есть изменение, вызванное выбранным сдвигом. Так мы получаем две величины, которые можно сравнить: насколько изменился аргумент и насколько вслед за ним изменилась функция.

Одного приращения Δy недостаточно, чтобы сравнивать изменения на промежутках разной длины. Поэтому его делят на Δx: отношение Δy/Δx показывает среднее изменение функции на единицу изменения аргумента. Например, если аргумент увеличился на 2, а функция — на 6, отношение равно 3. Геометрически такой же результат даёт наклон секущей: её угловой коэффициент равен отношению вертикального изменения к горизонтальному.

Секущая соединяет две точки графика, отвечающие аргументам x₀ и x₀ + Δx. Когда Δx уменьшается, вторая точка приближается к первой, и положение секущей постепенно меняется. Если при этом наклон секущей стремится к определённому значению, предельное положение прямой является касательной к графику в исходной точке. Её угловой коэффициент и есть производная: так геометрическая идея приводит к определению через предел.

Предел означает, что значения отношения приращений можно сделать сколь угодно близкими к одному числу, выбирая достаточно малое ненулевое Δx. Это число не обязано совпадать с отношением при каком-то одном конечном приращении. Подставлять Δx = 0 в исходную дробь нельзя, поскольку знаменатель станет нулём. Вместо этого выражение сначала преобразуют при Δx ≠ 0, а затем рассматривают его поведение при приближении Δx к нулю.

Понятие производной помогает описывать не только графики. Если s(t) задаёт положение тела в зависимости от времени, отношение изменения положения к изменению времени является средней скоростью за промежуток. При уменьшении этого промежутка средняя скорость может приближаться к конкретному значению. Предел, то есть производная s′(t), показывает скорость тела именно в выбранный момент времени — мгновенную скорость.

Величины и обозначения в определении производной

При решении задачи можно пользоваться таблицей как последовательностью действий: определить Δx, найти Δy, составить отношение и перейти к пределу. Отдельно проверьте, что приращение функции записано как разность нового и исходного значений. Геометрический смысл отношения приращений и производной помогает понять, к какому результату должны привести вычисления.

Разбор задач

Производная функции f(x) = x² в точке x₀ = 2

Найти производную по определению означает вычислить предел отношения приращений. Сначала найдём новое значение функции при аргументе 2 + Δx, а затем вычтем значение в исходной точке. После деления на Δx упростим выражение и только тогда перейдём к пределу. Это позволяет увидеть, как средний наклон переходит в наклон касательной.

1. f(2) = 2² = 4, а f(2 + Δx) = (2 + Δx)² = 4 + 4Δx + (Δx)².
2. Δy = f(2 + Δx) − f(2) = 4 + 4Δx + (Δx)² − 4 = 4Δx + (Δx)².
3. При Δx ≠ 0 отношение Δy/Δx = (4Δx + (Δx)²)/Δx = 4 + Δx.
4. При Δx → 0 выражение 4 + Δx стремится к 4, следовательно, f′(2) = 4.

Ответ: f′(2) = 4. В этой точке касательная к графику имеет угловой коэффициент 4. Получить ответ удалось не подстановкой нуля в дробь, а сокращением Δx при условии, что Δx ≠ 0.

Производная функции f(x) = 3x − 1 в точке x₀

Здесь x₀ — произвольное число из области определения функции. Линейная функция изменяется одинаково при любом сдвиге аргумента: прибавление Δx к x увеличивает значение функции на 3Δx. Проверим это непосредственно по определению и убедимся, что отношение приращений не зависит от величины сдвига.

1. f(x₀) = 3x₀ − 1, а f(x₀ + Δx) = 3(x₀ + Δx) − 1 = 3x₀ + 3Δx − 1.
2. Δy = f(x₀ + Δx) − f(x₀) = (3x₀ + 3Δx − 1) − (3x₀ − 1) = 3Δx.
3. Так как Δx ≠ 0, отношение Δy/Δx = 3Δx/Δx = 3.
4. Предел постоянного выражения 3 при Δx → 0 равен 3, поэтому f′(x₀) = 3.

Ответ: f′(x₀) = 3 при любом x₀. Отношение приращений оказалось постоянным, поэтому его предел совпадает с этим же числом. Геометрически график — прямая с угловым коэффициентом 3.

Производная функции f(x) = x² − 3x в точке x₀ = a

В этой задаче производную ищем в произвольной точке a. Особенно внимательно нужно раскрыть скобки в выражении f(a + Δx), сохранив все слагаемые. Затем приращение раскладывается на части, содержащие Δx. После сокращения этого множителя останется выражение, предел которого можно найти подстановкой Δx, стремящегося к нулю.

1. f(a) = a² − 3a, а f(a + Δx) = (a + Δx)² − 3(a + Δx).
2. Раскрываем скобки: f(a + Δx) = a² + 2aΔx + (Δx)² − 3a − 3Δx.
3. Вычитаем f(a): Δy = 2aΔx + (Δx)² − 3Δx = Δx(2a + Δx − 3).
4. При Δx ≠ 0 получаем Δy/Δx = 2a + Δx − 3. При Δx → 0 это выражение стремится к 2a − 3.

Ответ: f′(a) = 2a − 3. Слагаемые a² и −3a сократились, поскольку входят и в новое, и в исходное значение функции. Если при раскрытии скобок потерять множитель 2aΔx, итоговая производная будет неверной.

Типичные ошибки

Нельзя подставлять Δx = 0 в отношение приращений до преобразований: знаменатель обращается в ноль, и дробь не определена. Такую подстановку часто делают, потому что стремление к нулю ошибочно принимают за равенство нулю. Сначала упростите отношение при Δx ≠ 0, затем найдите предел. Проверьте решение: в итоговом выражении не должно оставаться деления на ноль.

Приращение функции иногда путают с новым значением f(x₀ + Δx). Но это значение само по себе не показывает, насколько функция изменилась. Нужно вычесть исходное значение: Δy = f(x₀ + Δx) − f(x₀). Проверить запись можно, подставив Δx = 0 в формулу приращения: разность значений должна обратиться в ноль.

Перестановка слагаемых при вычислении приращения меняет знак: f(x₀) − f(x₀ + Δx) — не та разность, что задана определением. Ошибку допускают, когда вычитают значения в привычном, но неверном порядке. До упрощения подпишите, какое значение новое, а какое исходное. Затем проверьте знак на простом примере, например для возрастающей линейной функции.

Отношение Δy/Δx не следует называть производной без оговорок: оно относится к конечному промежутку. Производная — предел этого отношения, когда ненулевое Δx стремится к нулю. Эти понятия смешивают, потому что в вычислении предела используется то же отношение. Проверьте себя: если в ответе осталось Δx, предел ещё не найден; если получено число, нужно убедиться, что оно действительно является пределом.

Связь с другими темами

Для работы с определением нужны навыки вычисления значений функции и разности этих значений, а также понимание предела. Геометрический смысл опирается на секущую, касательную и угловой коэффициент прямой: без этих понятий трудно представить, что именно стремится к производной. В дальнейшем производная помогает исследовать функции, находить скорость движения и решать задачи на максимумы и минимумы. Поэтому её определение связывает алгебраические вычисления, геометрию графика и практические задачи.

Что запомнить

• Δy = f(x₀ + Δx) − f(x₀).
• Отношение приращений равно Δy/Δx.
• Производная f′(x₀) — предел отношения приращений при Δx → 0.
• В определении Δx стремится к нулю, но не равен нулю.
• Геометрически производная — угловой коэффициент касательной к графику в точке.
• Для закона движения производная по времени задаёт мгновенную скорость.

График помогает увидеть, почему производную связывают с наклоном касательной. Для функции y = x² в точке с абсциссой 1 касательная имеет уравнение y = 2x − 1, поэтому её угловой коэффициент равен 2.