§ 28. Вычисление производных

Определения и обозначения

Производная функции — предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если этот предел существует. Приращением называют изменение значения: если аргумент x заменили на x + h, то функция изменилась на f(x + h) − f(x). Производную обозначают f′(x), а для функции y — y′. Она показывает скорость изменения функции в точке и позволяет описывать наклон её графика.

Производная суммы — правило, по которому производная суммы функций равна сумме их производных: (u + v)′ = u′ + v′. Здесь u и v — функции аргумента x, а штрих обозначает производную. Правило нужно, чтобы разбирать сумму на отдельные слагаемые и вычислять производную каждого независимо.

Производная произведения определяется правилом (uv)′ = u′v + uv′. Иными словами, сначала дифференцируют первый множитель, оставляя второй без изменения, затем дифференцируют второй, оставляя первый. Это правило позволяет находить производные выражений, где функции перемножаются.

Производная частного — правило для отношения функций: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v², если v ≠ 0. В числителе сначала берут производную числителя и умножают на знаменатель, затем вычитают произведение числителя на производную знаменателя. Условие v ≠ 0 необходимо, потому что исходное выражение не определено при нулевом знаменателе.

Как это устроено

При умножении функции на постоянное число k её приращение тоже умножается на k. Поэтому k остаётся множителем и при переходе к пределу: (ku)′ = ku′. Для суммы приращение равно сумме приращений слагаемых, а предел этой суммы равен сумме пределов. Отсюда следует правило (u + v)′ = u′ + v′, то есть сумму удобно дифференцировать почленно.

Для степенной функции используют определение производной: рассматривают отношение ((x + h)ⁿ − xⁿ)/h и устремляют h к нулю. После раскрытия степени по формуле бинома Ньютона слагаемое xⁿ сокращается, а остальные содержат h. После деления на h и перехода к пределу остаётся nxⁿ⁻¹, поэтому (xⁿ)′ = nxⁿ⁻¹ для допустимых значений n и x. В многочлене каждое слагаемое дифференцируют отдельно, учитывая постоянные множители.

Формулы для синуса и косинуса имеют вид (sin x)′ = cos x и (cos x)′ = −sin x. Их получают из определения производной с помощью формул сложения тригонометрических функций и предела sin h/h при h, стремящемся к нулю. Для синуса в пределе остаётся косинус, а для косинуса — минус синус. Знак минус отражает то, что при увеличении x значение косинуса в соответствующей точке убывает в направлении, противоположном изменению синуса.

В произведении двух функций изменение результата складывается из двух вкладов: меняется первый множитель и меняется второй. Поэтому в формуле (uv)′ = u′v + uv′ есть два слагаемых, а оба множителя не дифференцируют одновременно. Для частного применяют правило (u/v)′ = (u′v − uv′)/v². Разность в числителе учитывает, что изменение знаменателя влияет на дробь в противоположном направлении.

Выбирайте правило по внешнему устройству выражения. Если слагаемые соединены знаками плюс или минус, находите производную каждого; если две функции перемножены или одна делится на другую, применяйте правило произведения или частного. Внутри этих правил производные частей можно находить по формулам для степеней, синуса и косинуса, а постоянный множитель выносить. Например, в x² sin x сначала распознают произведение, а в дроби с многочленами — частное и отдельно проверяют знаменатель.

Основные формулы и правила дифференцирования

Сначала найдите в таблице формулу для устройства выражения: отдельной функции, суммы, произведения или частного. Затем подставьте вместо u и v соответствующие части и вычислите их производные. Для частного обязательно проверьте, где знаменатель не равен нулю.

Разбор задач

Производная многочлена

Найдите производную функции y = 5x⁴ − 3x² + 7. Здесь три слагаемых: две степенные функции с постоянными множителями и постоянное число. Поэтому удобнее дифференцировать каждое слагаемое, а не пытаться применять правило к многочлену целиком. В конце проверим, что у степеней показатель уменьшен на единицу.

1. Для 5x⁴ выносим множитель 5 и используем формулу степени: (5x⁴)′ = 5 · 4x³ = 20x³.
2. Для −3x² получаем (−3x²)′ = −3 · 2x = −6x.
3. Производная постоянной 7 равна 0, поэтому складываем результаты: y′ = 20x³ − 6x + 0.

Ответ: y′ = 20x³ − 6x.

Производная произведения

Найдите производную функции y = x² sin x. Выражение состоит не из суммы, а из произведения двух функций: u = x² и v = sin x. Значит, нужно применить правило (uv)′ = u′v + uv′, а затем найти производные обоих множителей. Такой порядок помогает не перепутать формулу произведения с умножением производных.

1. Обозначим u = x² и v = sin x; тогда u′ = 2x, v′ = cos x.
2. Подставим эти выражения в правило: y′ = u′v + uv′.
3. Получим y′ = 2x sin x + x² cos x.

Ответ: y′ = 2x sin x + x² cos x.

Производная частного

Найдите производную функции y = (x² + 1)/(x − 2) и укажите область, на которой формула применима. Здесь числитель u = x² + 1, знаменатель v = x − 2, поэтому используем правило частного. До вычислений проверяем область определения: знаменатель исходной функции не должен равняться нулю. Это исключает x = 2.

1. Находим производные частей: u′ = 2x, v′ = 1.
2. Подставляем в формулу: y′ = (u′v − uv′)/v² = (2x(x − 2) − (x² + 1) · 1)/(x − 2)².
3. Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые: y′ = (2x² − 4x − x² − 1)/(x − 2)² = (x² − 4x − 1)/(x − 2)².

Ответ: y′ = (x² − 4x − 1)/(x − 2)² при x ≠ 2.

Типичные ошибки

• Ошибка — считать, что производная произведения равна произведению производных: (uv)′ ≠ u′v′. Её допускают, когда применяют правило суммы по аналогии и забывают, что меняются оба множителя. Проверка: в формуле должны быть два слагаемых u′v + uv′; к каждому множителю по очереди применяют штрих.

• Ошибка — перепутать порядок вычитания в формуле частного или потерять скобки. Это часто происходит, когда числитель записывают слишком поспешно: верный порядок для u/v — u′v − uv′. Проверяйте, что сначала стоит производная числителя, умноженная на знаменатель, и что вся разность заключена в скобки.

• Ошибка — записать (cos x)′ = sin x без минуса. Причина обычно в том, что формулу косинуса вспоминают по аналогии с формулой синуса. Сверяйте результат с правилом (cos x)′ = −sin x и не убирайте этот знак при дальнейших преобразованиях.

• Ошибка — при дифференцировании xⁿ забыть умножить на n или уменьшить показатель степени на единицу. Например, неверно записывать (x⁴)′ как x³ либо 4x⁴. Проверка: в ответе коэффициент равен прежнему показателю, а новая степень на единицу меньше: (x⁴)′ = 4x³.

Связь с другими темами

Для вычисления производных нужны навыки работы со степенями и многочленами, а также знакомые формулы синуса и косинуса. Сама производная помогает находить угловой коэффициент касательной и исследовать, как ведёт себя функция. В дальнейшем правила дифференцирования используют при решении задач на экстремумы и применение производной. Поэтому точность вычислений важна и для геометрических, и для более общих задач о функциях.

Что запомнить

• Производная постоянной равна нулю.
• Производную суммы находят почленно.
• Постоянный множитель можно вынести за знак производной.
• Производная xⁿ равна nxⁿ⁻¹.
• (sin x)′ = cos x, а (cos x)′ = −sin x.
• Для произведения используют формулу u′v + uv′.
• Правило производной частного применяют только там, где знаменатель не равен нулю.