§ 29. Уравнение касательной к графику функции

Определения и обозначения

Касательная к графику функции в точке — прямая, которая проходит через точку графика с абсциссой x₀ и имеет там тот же наклон, что и график. Иначе говоря, рядом с выбранной точкой прямая повторяет направление графика. Это понятие позволяет описать поведение функции вблизи точки с помощью прямой.

Точка касания — точка графика с координатами (x₀; f(x₀)), в которой проводят касательную. Здесь x₀ обозначает абсциссу, а f(x₀) — соответствующее значение функции, то есть ординату. Эти координаты нужны, чтобы прямая проходила именно через выбранную точку графика.

Угловой коэффициент касательной — число, равное значению производной функции в точке касания: k = f′(x₀). Он показывает наклон прямой: положительный коэффициент соответствует подъёму вправо, отрицательный — спуску, а нулевой — горизонтальному направлению. Поэтому производная помогает определить направление касательной.

Уравнение касательной — уравнение прямой, проходящей через точку касания и имеющей угловой коэффициент f′(x₀). Для его записи используют координаты точки и найденный наклон. Такая формула переводит геометрическое условие в вычисления.

Как это устроено

Наклон графика в точке можно понять через наклоны секущих — прямых, проходящих через две точки графика. Если вторую точку постепенно приближать к первой, секущая поворачивается и её наклон стремится к наклону касательной. Производная описывает именно предел такого изменения, поэтому значение производной в точке задаёт наклон касательной. Это связывает вычисление производной с геометрией графика.

Знак производной объясняет направление прямой. При f′(x₀) > 0 угловой коэффициент положителен, и прямая поднимается при движении слева направо; при f′(x₀) < 0 она опускается. Если f′(x₀) = 0, прямая не поднимается и не опускается, поэтому она горизонтальна. Само по себе равенство производной нулю сообщает наклон, но координаты точки всё равно нужны для положения прямой.

Любую прямую с угловым коэффициентом k, проходящую через точку (x₀; y₀), можно записать уравнением y − y₀ = k(x − x₀). Разность y − y₀ показывает изменение ординаты относительно точки, а x − x₀ — изменение абсциссы. Для касательной берут y₀ = f(x₀), потому что точка лежит на графике, и k = f′(x₀), потому что производная задаёт наклон. Так получается формула y − f(x₀) = f′(x₀)(x − x₀).

Вычисления удобно выполнять в определённом порядке: сначала найти ординату точки, а затем значение производной при той же абсциссе. После этого оба числа подставляют в формулу касательной. Такой порядок помогает не спутать координату точки с наклоном прямой и увидеть, откуда взялось каждое слагаемое. В конце полезно проверить, что при x = x₀ уравнение даёт y = f(x₀).

Касательная совпадает с графиком в точке касания и обычно хорошо приближает его неподалёку от этой точки. При удалении от неё форма графика может заметно измениться, тогда как прямая продолжает идти в прежнем направлении. Поэтому касательную используют для локального приближения, но не считают заменой всему графику на большом промежутке. Совпадение наклонов относится к выбранной точке, а не ко всем точкам функции.

Элементы уравнения касательной

Пользуйтесь таблицей сверху вниз: сначала определите абсциссу, затем вычислите ординату и наклон. После этого подставьте результаты в общую формулу. Такая проверка по элементам помогает не пропустить ни координаты, ни производную.

Разбор задач

Задача 1

Найти уравнение касательной к графику y = x² в точке с абсциссой x₀ = 1. Чтобы прямая была задана полностью, нужно определить и точку графика, и наклон в ней. Сначала вычислим эти две величины, а затем применим формулу.

1. Обозначим f(x) = x² и найдём ординату: f(1) = 1² = 1. Точка касания — (1; 1).
2. Найдём производную: f′(x) = 2x. При x = 1 получаем f′(1) = 2, значит, угловой коэффициент равен 2.
3. Подставим значения в формулу: y − 1 = 2(x − 1). Раскроем скобки и выразим y: y − 1 = 2x − 2, откуда y = 2x − 1.

Ответ: y = 2x − 1. Проверка: при x = 1 уравнение даёт y = 1, то есть касательная проходит через точку графика. Её наклон 2 совпадает с производной в этой точке.

Задача 2

Составить уравнение касательной к графику y = 1/x в точке с абсциссой x₀ = 2. Эта функция убывает при положительных x, поэтому ожидается отрицательный наклон касательной. Проверка знака производной поможет избежать ошибки.

1. Вычислим ординату: f(2) = 1/2. Следовательно, точка касания имеет координаты (2; 1/2).
2. Запишем производную: f′(x) = −1/x². Подставим x = 2: f′(2) = −1/4. Отрицательный знак соответствует убывающей касательной.
3. Подставим найденные величины: y − 1/2 = −1/4(x − 2). После раскрытия скобок получим y − 1/2 = −x/4 + 1/2, поэтому y = −x/4 + 1.

Ответ: y = −x/4 + 1. При x = 2 правая часть равна 1/2, так что прямая проходит через точку касания. Коэффициент при x равен −1/4, как и значение производной.

Задача 3

Найти абсциссу точки графика y = x³ − 3x, в которой касательная параллельна прямой y = 9x + 2, и записать уравнение касательной. Параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты, а у заданной прямой он равен 9. Поэтому сначала найдём точки, в которых производная функции равна 9.

1. Найдём производную функции: f′(x) = 3x² − 3. Приравняем её к 9: 3x² − 3 = 9, откуда x² = 4 и x = 2 или x = −2.
2. Для x = 2 получаем f(2) = 8 − 6 = 2. Для x = −2 получаем f(−2) = −8 + 6 = −2. Значит, возможны две точки касания: (2; 2) и (−2; −2).
3. В обеих точках производная равна 9. При x₀ = 2 уравнение имеет вид y − 2 = 9(x − 2), то есть y = 9x − 16. При x₀ = −2 получаем y + 2 = 9(x + 2), то есть y = 9x + 16.

Ответ: абсциссы x = 2 и x = −2; касательные y = 9x − 16 и y = 9x + 16. Получились две точки, потому что уравнение для производной имеет два корня. Обе найденные прямые параллельны заданной, поскольку их угловой коэффициент равен 9.

Типичные ошибки

Подставлять только производную или только значение функции недостаточно: первое задаёт наклон, а второе вместе с x₀ определяет положение точки. Ошибку допускают, когда воспринимают формулу как вычисление одного числа. Проверьте, что в записи присутствуют и f(x₀), и f′(x₀), а прямая проходит через (x₀; f(x₀)).

В формулу нужно подставлять значение производной в точке, а не всю функцию f′(x). Например, если f′(x) = 2x, а x₀ = 1, в уравнении используется число 2. Чтобы проверить себя, сначала отдельно вычислите f′(x₀), а затем подставьте результат вместо углового коэффициента.

Абсцисса x₀ и ордината f(x₀) — разные координаты, поэтому их нельзя менять местами или считать одним и тем же значением. Путаница часто возникает из-за того, что обе величины зависят от выбранной точки. Запишите точку как упорядоченную пару (x₀; f(x₀)) и проверьте, что подстановка x₀ в функцию действительно даёт вторую координату.

При раскрытии скобок в выражении f′(x₀)(x − x₀) легко потерять минус или неверно изменить знак второго слагаемого. Например, −1/4(x − 2) = −x/4 + 1/2, поскольку произведение −1/4 и −2 положительно. Проверка подстановкой x = x₀ помогает обнаружить ошибку: уравнение касательной должно дать y = f(x₀).

Связь с другими темами

Для составления уравнения касательной нужно уметь находить производную функции и вычислять значения функции и производной при заданном x. Без этих навыков нельзя определить ни координаты точки касания, ни наклон прямой. Поэтому тема опирается на правила дифференцирования и работу с координатами графика.

Касательные применяют при исследовании графиков и для приближённой оценки значений функции вблизи выбранной точки. Задачи на параллельность связывают эту тему с уравнением прямой: чтобы найти нужную точку касания, приравнивают производную к угловому коэффициенту заданной прямой. После этого найденную точку подставляют в формулу касательной.

Что запомнить

• Точка касания имеет координаты (x₀; f(x₀)).
• Угловой коэффициент касательной равен f′(x₀).
• Уравнение касательной: y − f(x₀) = f′(x₀)(x − x₀).
• Для горизонтальной касательной необходимо f′(x₀) = 0.
• Касательная приближает график функции вблизи точки касания.