"Математика. 10 класс. (базовый уровень)", Мордкович А.Г., Смирнова И.М.
Производная помогает понять, как меняется функция: где её график поднимается, где опускается и в каких точках достигает локальных максимумов или минимумов. Для исследования находят точки, где производная равна нулю или не существует, а затем проверяют её знак на промежутках между ними. Главный ориентир — смена знака: «плюс» на «минус» даёт максимум, «минус» на «плюс» — минимум. При этом не каждая критическая точка является точкой экстремума.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Возрастающая функция — функция, у которой большему значению аргумента на рассматриваемом промежутке соответствует большее значение функции. Иначе говоря, если двигаться по оси x вправо, значения f(x) увеличиваются. Это понятие позволяет описать участок графика, который поднимается слева направо.
Убывающая функция — функция, у которой большему значению аргумента на рассматриваемом промежутке соответствует меньшее значение функции. При движении вправо значения f(x) уменьшаются, а график опускается. Понимание убывания помогает увидеть, на каких участках функция ведёт себя противоположно возрастающей.
Точка экстремума — точка области определения, в которой функция имеет локальный максимум или локальный минимум. Слово «локальный» означает, что сравниваются значения лишь в достаточно близкой окрестности точки, а не во всей области определения. Поэтому экстремум не обязательно является самым большим или самым маленьким значением функции вообще.
Максимум и минимум функции — наибольшее или наименьшее значение функции в некоторой окрестности точки экстремума. Максимум — это значение f(x) в точке локального максимума, а минимум — значение в точке локального минимума. Эти значения нужны, чтобы описать, насколько высоко или низко функция достигает локальной вершины или впадины.
Производная показывает, как быстро меняется значение функции при изменении аргумента. Если f′(x) положительна на промежутке, при небольшом движении вправо функция увеличивается, поэтому на всём таком промежутке она возрастает. Если производная отрицательна, значения уменьшаются и функция убывает. Речь идёт именно о знаке производной на промежутке, а не о её значении в одной точке.
Чтобы найти места, где поведение функции может измениться, рассматривают точки области определения, в которых f′(x) = 0 или производная не существует. Между такими точками производная обычно непрерывна, поэтому её знак не меняется без прохождения через ноль или место, где она не определена. Это не означает, что знак обязательно изменится: точки лишь обозначают возможные границы промежутков исследования.
Сначала находят производную и область определения функции, затем решают уравнение f′(x) = 0 и отмечают точки, где производная не существует, но сама функция определена. Полученные точки располагают на числовой прямой и разбивают область определения на промежутки. На каждом выбирают удобное значение x и проверяют знак f′(x), либо преобразуют производную так, чтобы знак был виден. По результатам записывают промежутки возрастания и убывания.
Экстремум определяется не самим фактом, что производная в точке равна нулю, а тем, как меняется функция рядом с ней. Если при переходе слева направо знак производной меняется с плюса на минус, функция сначала возрастает, а затем убывает: в точке перехода находится локальный максимум. При смене с минуса на плюс функция сначала убывает, а затем возрастает, поэтому там локальный минимум.
Критической называют точку области определения, где производная равна нулю или не существует; это кандидат на экстремум, а не готовый ответ. Например, у f(x) = x³ производная f′(x) = 3x² равна нулю при x = 0, но положительна по обе стороны от нуля. Функция продолжает возрастать, поэтому экстремума в этой точке нет. Проверка знаков по обе стороны позволяет отличить такую точку от максимума или минимума.
| Знак производной | Изменение функции | Смена знака в точке | Вывод о точке |
|---|---|---|---|
| f′(x) > 0 | Возрастает | − на + | Локальный минимум |
| f′(x) < 0 | Убывает | + на − | Локальный максимум |
| Знак f′(x) не меняется | Монотонность по обе стороны сохраняется | + на + или − на − | Экстремум не возникает только из-за этой точки |
Сначала найдите знак производной на промежутках слева и справа от критической точки, а затем сопоставьте его с изменением функции. Для вывода об экстремуме важна именно смена знака при движении слева направо. Если знак сохраняется, одной этой точки недостаточно, чтобы говорить о локальном максимуме или минимуме.
Нужно выяснить, где функция возрастает и убывает, поэтому достаточно исследовать знак её производной. Область определения — все действительные числа. Производная линейная, и её знак может измениться в точке, где она обращается в ноль.
При переходе через x = 2 знак производной меняется с минуса на плюс, значит, в этой точке находится локальный минимум. Значение функции равно f(2) = 2² − 4 · 2 = −4. Ответ: функция убывает на (−∞, 2), возрастает на (2, +∞), минимум равен −4.
Производная этой функции может менять знак в точках, где она равна нулю. Найдём такие точки и проверим знак на всех получившихся промежутках. Так удастся определить и монотонность, и тип каждого экстремума.
Следовательно, функция возрастает на (−∞, −1) и (1, +∞), убывает на (−1, 1). Значения в точках: f(−1) = 2, f(1) = −2. Ответ: локальный максимум 2 достигается при x = −1, локальный минимум −2 — при x = 1.
Сначала важно учесть, что деление на ноль невозможно: x = 0 не принадлежит области определения. Поэтому исследование нужно вести отдельно слева и справа от нуля, не объединяя промежутки через разрыв.
В точке −2 знак меняется с плюса на минус, поэтому f(−2) = −4 — локальный максимум. В точке 2 знак меняется с минуса на плюс, поэтому f(2) = 4 — локальный минимум. Ответ включает указанные промежутки монотонности и экстремумы; через x = 0 исследование не проводится.
Ошибка: считать любую точку, где f′(x) = 0, точкой экстремума. Так поступают, потому что нулевую производную связывают с горизонтальной касательной, но горизонтальная касательная сама по себе не означает поворот графика. Проверьте знак f′ слева и справа: если он не меняется, экстремума нет.
Ошибка: забывать точки, где производная не существует. Их легко пропустить, если искать только корни уравнения f′(x) = 0, хотя в таких точках функция тоже может менять поведение. Сравните область определения функции и область определения производной, затем включите подходящие точки в разбиение.
Ошибка: исследовать функцию через точку разрыва. Часто так делают, потому что рассматривают числовую прямую как единый промежуток, не проверив, определена ли там функция. Перед составлением таблицы знаков выпишите область определения и разделите её в местах разрыва.
Ошибка: путать знак производной со знаком самой функции. Например, f(x) может быть отрицательной и при этом возрастать, если f′(x) > 0. Для самопроверки отдельно оценивайте значения f(x) и знак f′(x): первое говорит о положении графика относительно оси x, второе — о направлении его изменения.
Чтобы исследовать монотонность и экстремумы, нужно уметь находить производные и решать уравнения и неравенства. Знание области определения помогает правильно выбрать промежутки, особенно если у функции есть разрывы. Результаты исследования используют при построении графиков: сведения о возрастании, убывании и экстремумах показывают форму графика. В прикладных задачах производная помогает искать наибольшее или наименьшее значение величины.
Почему положительная производная означает, что функция возрастает?
Производная показывает скорость изменения функции при изменении аргумента. Если она положительна на всём промежутке, значения функции при движении вправо увеличиваются, поэтому функция возрастает.
Какие точки нужно проверить при исследовании функции на экстремумы?
Проверяют точки области определения, в которых производная равна нулю или не существует. Они могут разделить область на промежутки с разными знаками производной; дополнительно учитывают границы области определения, если рассматривают поведение на них.
Может ли функция иметь экстремум в точке, где производная не существует?
Да. Например, у функции f(x) = |x| в точке x = 0 производная не существует, но там находится локальный минимум. Нужно проверить значения и поведение функции по обе стороны точки.
Всегда ли точка, в которой производная равна нулю, является точкой экстремума?
Нет. Например, у f(x) = x³ производная равна нулю при x = 0, но функция возрастает и слева, и справа от этой точки. Экстремум возникает, если производная меняет знак.
Как по таблице знаков производной определить максимум и минимум?
Найдите, как меняется знак при переходе через критическую точку слева направо. Смена с плюса на минус означает локальный максимум, с минуса на плюс — локальный минимум; если знак сохраняется, такого вывода об экстремуме сделать нельзя.
§ 30. Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы
