"Математика. 10 класс. (базовый уровень)", Мордкович А.Г., Смирнова И.М.
График функции можно получить не только вычислением множества значений, но и преобразованием уже знакомого графика. Сдвиги, растяжения, сжатия и отражения помогают быстро строить графики новых функций и видеть, как меняются их характерные точки. Главное — различать действие множителя перед функцией и множителя в аргументе: первый меняет ординаты, второй — абсциссы. Эти приёмы пригодятся при исследовании функций и решении уравнений графически.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
График функции — множество точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению y = f(x). Здесь x — абсцисса, а f(x) — значение функции, то есть ордината точки. График помогает увидеть, как меняется функция, и прочитать её значения без повторных вычислений.
Преобразование графика — изменение положения или масштаба исходного графика, позволяющее получить график новой функции. Исходным называют график, который уже умеем строить, например y = x² или y = |x|. Такое преобразование нужно, чтобы не находить много точек заново, а использовать известную форму графика.
Параллельный перенос графика — сдвиг всех его точек на одинаковый вектор без изменения формы. Например, при переносе вправо каждая точка получает большую абсциссу, а при переносе вверх — большую ординату. Перенос позволяет быстро определить новое положение графика и его характерных точек.
Растяжение или сжатие графика — изменение расстояний между его точками и осью либо прямой, параллельной оси. При вертикальном изменении меняются ординаты точек, а при горизонтальном — абсциссы. Этот приём нужен, чтобы учитывать множители в формуле и не путать изменение формы с простым сдвигом.
В записи y = f(x) + b к каждому значению функции прибавляется одно и то же число b. Поэтому у каждой точки сохраняется абсцисса x, а ордината y превращается в y + b. Если b положительно, все точки поднимаются, если отрицательно — опускаются; форма и взаимное расположение точек при этом не меняются.
В выражении y = f(x − a) меняется не готовое значение функции, а её аргумент. Чтобы в новой формуле получить прежнее значение f(t), нужно выбрать x так, чтобы x − a = t, откуда x = t + a. Поэтому каждая прежняя точка (t; y) перемещается в (t + a; y): при a > 0 график сдвигается вправо, хотя внутри скобок стоит знак минус.
В формуле y = kf(x) множитель действует на весь результат функции. Для прежней точки с координатами (x; y) новое значение равно ky, а x остаётся прежним, поэтому точка переходит в (x; ky). При |k| > 1 расстояния от точек до оси x увеличиваются, а при 0 < |k| < 1 уменьшаются; если k < 0, знак ординаты меняется, и график отражается относительно оси x.
Для y = f(kx) множитель находится внутри аргумента, поэтому меняется координата x. Чтобы получить прежнее значение f(t), надо решить уравнение kx = t: новая абсцисса равна t/k. Значит, каждая точка (t; y) переходит в (t/k; y); при |k| > 1 расстояния до оси y уменьшаются, а при k < 0 меняется знак абсциссы и возникает отражение относительно оси y.
Если в формуле одновременно есть несколько изменений, удобно сравнить её с исходной функцией и выполнить нужные преобразования по очереди. Например, сначала можно изменить аргумент, затем умножить значение функции и прибавить число. На каждом шаге проследите за несколькими характерными точками — вершиной, пересечениями с осями или точками, которые легко найти, — чтобы убедиться, что сдвиг и масштаб выбраны верно.
В таблице указано, как изменяются координаты каждой точки исходного графика. Сначала найдите в формуле нужное преобразование, затем примените его к характерным точкам. Если используются несколько приёмов, выполняйте их последовательно и проверяйте конечные координаты.
| Новая функция | Изменение графика | Изменение координат точки (x; y) |
|---|---|---|
| y = f(x) + b | Сдвиг вдоль оси y на b | (x; y + b) |
| y = f(x − a) | Сдвиг вдоль оси x на a | (x + a; y) |
| y = kf(x) | Растяжение или сжатие вдоль оси y; при k < 0 — отражение относительно оси x | (x; ky) |
| y = f(kx) | Растяжение или сжатие вдоль оси x; при k < 0 — также отражение относительно оси y | (x/k; y) |
Ответ: парабола y = x², сдвинутая на 2 единицы вправо; вершина — (2; 0).
Ответ: график с вершиной (0; 1), направленный ветвями вниз; он проходит, например, через точки (1; −1) и (−1; −1).
Ответ: график y = 1/x, сдвинутый вправо на 1 и вверх на 2; асимптоты: x = 1 и y = 2.
При построении y = f(x − a) иногда сдвигают график влево, потому что видят знак минус. Но знак внутри аргумента действует противоположно: для прежнего значения функции требуется увеличить x на a. Проверьте себя по точке: её новая абсцисса равна старой плюс a, поэтому при a > 0 она должна оказаться правее.
В выражении y = kf(x) можно ошибочно менять абсциссы, принимая k за горизонтальный масштаб. Однако множитель стоит вне функции и умножает её значение, поэтому меняются ординаты, а абсциссы остаются прежними. Для проверки возьмите точку (x; y): после преобразования она должна стать (x; ky).
При переходе к y = f(kx) иногда умножают абсциссы на k. Причина ошибки — механическое следование множителю, хотя для прежнего аргумента нужно решить уравнение kx = t, поэтому новая абсцисса равна t/k. Подставьте её в аргумент: k · (t/k) = t, значит, значение функции действительно сохранится.
Отрицательный множитель иногда считают только указанием на растяжение или сжатие, забывая про отражение. Отрицательное число меняет знак координаты: снаружи функции это знак ординаты, а внутри аргумента — знак абсциссы. Проверяйте перенос одной точки: при y = kf(x) сравните знаки её y, а при y = f(kx) — знаки её x.
Для работы с преобразованиями нужно уметь строить базовые графики, например y = x², y = |x| и y = 1/x, а также читать координаты точек. Если исходная форма графика незнакома, переносы и изменения масштаба не помогут определить, как он выглядит. Поэтому сначала полезно уверенно находить характерные точки и распознавать основные функции.
Преобразования пригодятся при исследовании функций: по графику можно оценивать поведение функции и положение её нулей. Они также помогают решать уравнения графически — находить точки пересечения графиков. При построении сложных функций эти приёмы позволяют получить результат из знакомого графика, не начиная построение заново.
Почему график y = f(x - 3) сдвигается вправо, а не влево?
Чтобы получить прежнее значение функции f(t), в новой записи нужно положить x − 3 = t. Значит, точка с прежней абсциссой t окажется при x = t + 3, то есть правее на 3.
Как отличить вертикальное растяжение от горизонтального?
Если множитель стоит перед функцией, как в y = 2f(x), умножаются ординаты — график меняется по вертикали. Если он стоит в аргументе, как в y = f(2x), меняются абсциссы: они делятся на 2, поэтому график сжимается по горизонтали.
Что происходит с графиком, если коэффициент преобразования отрицательный?
Отрицательный множитель меняет знак соответствующей координаты и отражает график относительно оси. В выражении kf(x) отражение происходит относительно оси x, а в аргументе f(kx) — относительно оси y.
В каком порядке выполнять несколько преобразований графика?
Выполняйте преобразования по очереди, переходя от исходной функции к данной: сначала воздействие на аргумент, затем множитель перед функцией и свободное слагаемое. После каждого шага проверяйте, куда переместились характерные точки.
Как по графику исходной функции быстро построить график новой?
Определите, что изменилось в формуле: аргумент, множитель перед функцией или слагаемое. По таблице преобразований перенесите каждую характерную точку, а затем соедините новые точки формой исходного графика с учётом растяжения, сжатия или отражения.
§ 31. Построение графиков функций
