§ 32. Применение производной для нахождения наибольших и наименьших значений величин

Определения и обозначения

Наибольшее значение функции на отрезке — значение, которое не меньше значений функции во всех остальных точках этого отрезка. Оно обозначается как одно из значений f(x), а не как координата x. Это понятие позволяет определить верхнюю границу величины, когда аргумент ограничен.

Наименьшее значение функции на отрезке — значение, которое не больше значений функции во всех остальных точках этого отрезка. Как и наибольшее, оно относится к результатам вычисления функции. Поиск минимума полезен, например, когда нужно сделать расход или расстояние как можно меньше.

Критическая точка — внутренняя точка области определения, в которой производная равна нулю или не существует. Внутренней называют точку, не совпадающую с концами рассматриваемого отрезка. Критические точки проверяют, потому что в них функция может менять направление роста и убывания.

Экстремум функции — локальный максимум или локальный минимум, то есть наибольшее или наименьшее значение функции по сравнению с близкими к точке значениями. Экстремум внутри отрезка может быть кандидатом на глобальное наибольшее или наименьшее значение на всём отрезке. Но это нужно проверить сравнением со значениями на концах и в других критических точках.

Как это устроено

Если в точке внутри отрезка функция имеет максимум или минимум и производная существует, график около этой точки перестаёт идти вверх и начинает идти вниз либо наоборот. В самой точке касательная обычно горизонтальна, а её наклон равен нулю. Поэтому производная там равна нулю, и такие точки ищут из уравнения f′(x) = 0. Если производная в точке не существует, точку тоже проверяют: возможный экстремум не обязан иметь горизонтальную касательную.

Проверять только внутренние точки недостаточно, потому что отрезок имеет границы. Функция может возрастать на всём отрезке, и тогда максимум окажется на правом конце, а минимум — на левом. При убывании будет наоборот. Поэтому оба конца обязательно включают в список кандидатов независимо от поведения функции внутри.

Сначала находят производную, затем решают уравнение f′(x) = 0 и отдельно отмечают точки, где производная не существует. Из полученного списка оставляют только точки, которые лежат внутри заданного отрезка и принадлежат области определения функции. После этого вычисляют значения функции во всех оставшихся точках и на концах, а затем сравнивают числа.

Такой список кандидатов достаточен для непрерывной функции на замкнутом отрезке: по теореме о наибольшем и наименьшем значениях она достигает там обоих значений. Если максимум или минимум находится внутри и производная существует, это точка критическая. Если внутри подходящей точки нет, значение всё равно достигается на границе. Поэтому сравнение конечного списка позволяет найти искомые числа.

В задаче на оптимизацию сначала выбирают переменную и выражают через неё нужную величину, например площадь прямоугольника. Затем из условия находят, какие значения переменной допустимы, то есть задают отрезок или другой промежуток. Производная помогает найти кандидатов на оптимум, после чего проверяют границы допустимых значений. Так геометрическое условие превращается в задачу о наибольшем или наименьшем значении функции.

На графике y = x³ − 3x на отрезке [−2; 2] нужно сравнить значения в концах и в двух внутренних критических точках.

Алгоритм поиска наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке

Двигайтесь по таблице сверху вниз: сначала задайте область поиска, а затем собирайте все точки-кандидаты. В конце у вас будет несколько чисел — среди них наибольшее и наименьшее и будут ответами. Если критическая точка оказалась за пределами отрезка, пропустите её.

Разбор задач

Задача 1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = x² − 4x + 1 на отрезке [0; 5]. Нужно проверить внутреннюю критическую точку и оба конца отрезка. Производная этой квадратичной функции равна нулю в вершине параболы.

1. Находим производную: f′(x) = 2x − 4. Решаем 2x − 4 = 0 и получаем x = 2, эта точка лежит в [0; 5].
2. Вычисляем значения в кандидатах: f(0) = 1, f(2) = −3, f(5) = 6. Для проверки подставляем в исходную формулу, а не в производную.
3. Сравниваем числа: наименьшее равно −3, наибольшее равно 6. Минимум достигнут при x = 2, максимум — при x = 5.

Ответ: наименьшее значение −3, наибольшее значение 6.

Задача 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = x³ − 3x на отрезке [−2; 2]. Уравнение производной здесь даёт две внутренние точки, поэтому нужно проверить обе и границы. После этого сравним полученные значения, не полагаясь только на вид графика.

1. Находим f′(x) = 3x² − 3 и решаем 3x² − 3 = 0. Получаем x = −1 и x = 1; обе точки находятся внутри отрезка.
2. Вычисляем функцию в критических точках и на концах: f(−2) = −2, f(−1) = 2, f(1) = −2, f(2) = 2.
3. Сравниваем результаты. Наибольшее значение равно 2 и достигается при x = −1 и x = 2; наименьшее равно −2 и достигается при x = −2 и x = 1.

Ответ: наибольшее значение 2, наименьшее значение −2.

Задача 3. Прямоугольник имеет периметр 20 см. Найти его наибольшую возможную площадь. Обозначим одну сторону через x, тогда из равенства 2x + 2y = 20 вторая сторона равна y = 10 − x. Чтобы обе стороны были положительными, допустимый промежуток: 0 < x < 10.

1. Выражаем площадь одной переменной: S(x) = x(10 − x) = 10x − x². Её производная S′(x) = 10 − 2x.
2. Решаем S′(x) = 0: 10 − 2x = 0, значит, x = 5. Это допустимое значение, и вторая сторона тоже равна 5.
3. На концах промежутка, если рассматривать предельные значения x = 0 и x = 10, площадь равна нулю; при положительных сторонах она лишь приближается к нулю. В критической точке S(5) = 25, поэтому наибольшая площадь достигается у квадрата со стороной 5 см.

Ответ: 25 см².

Типичные ошибки

Проверяют только точки, где производная равна нулю, и забывают концы отрезка. Это происходит, когда поиск экстремума внутри отрезка принимают за весь поиск наибольшего и наименьшего значений. Но граница может дать более высокий или низкий результат. Для самопроверки выпишите оба конца отрезка в список кандидатов до вычислений.

Включают критические точки вне отрезка. Обычно это случается потому, что после решения уравнения f′(x) = 0 забывают вернуться к условию задачи. Такая точка не относится к рассматриваемому промежутку и не может дать искомый ответ. Проверьте, удовлетворяет ли каждое найденное значение x границам отрезка.

Считают, что любая критическая точка обязательно даёт максимум или минимум на отрезке. Критическая точка лишь кандидат: её значение может оказаться промежуточным или уступить значению на конце. Чтобы не сделать вывод только по производной, вычислите функцию во всех кандидатах и сравните результаты.

Путают координату точки экстремума со значением функции в этой точке. Например, x = 2 указывает, где достигается результат, а f(2) показывает, чему этот результат равен. Ошибка возникает, если сравнивают найденные корни вместо значений функции. Подставьте каждую координату в исходную функцию и сравнивайте именно получившиеся числа.

Связь с другими темами

Для применения способа нужно уметь находить производную, решать уравнение f′(x) = 0 и вычислять значения функции. Эти действия опираются на правила дифференцирования и преобразование выражений. Знание промежутков возрастания и убывания помогает понять, почему критические точки важны: в них функция может менять направление изменения.

Дальше метод используют в задачах на оптимизацию геометрических величин: площади, объёма, длины. Он также помогает исследовать функции, поскольку сравнение значений на отрезке дополняет анализ их графиков. Практическое условие при этом сначала переводят в формулу одной переменной.

Что запомнить

• Непрерывная функция на замкнутом отрезке достигает наибольшего и наименьшего значений.
• Кандидатами служат концы отрезка и критические точки внутри него.
• Критические точки находят по условию f′(x) = 0 или отсутствия производной.
• Критические точки вне отрезка в сравнении не участвуют.
• В каждом кандидате вычисляют значение функции.
• Наибольшее и наименьшее значения определяют сравнением полученных чисел.