§ 3. Предел последовательности

Определения и обозначения

Числовая последовательность — это функция, заданная на натуральных числах: каждому номеру n она сопоставляет число aₙ. Запись aₙ обозначает отдельный член с номером n, а (aₙ) — всю последовательность, например 1, ½, ⅓, … . Такое обозначение позволяет коротко задавать бесконечный список чисел формулой и исследовать его поведение.

Предел последовательности — число A, к которому её члены приближаются при неограниченном увеличении номера n. Запись lim aₙ = A при n → ∞ означает, что для любой наперёд заданной точности ε > 0 все члены, начиная с некоторого номера, отличаются от A меньше чем на ε. Предел нужен, чтобы точно описывать результат процесса, который продолжается без конца.

Сходящейся называется последовательность, имеющая конечный предел. Если её предел равен A, то при достаточно больших номерах члены можно сделать сколь угодно близкими именно к A. Такой предел единственный: последовательность не может одновременно приближаться к двум разным числам.

Бесконечно малая последовательность — это последовательность, предел которой равен нулю. Её члены не обязаны стать нулевыми, но со временем становятся сколь угодно малыми по модулю. Поэтому, если aₙ → A, последовательность можно представить как aₙ = A + αₙ, где αₙ → 0: приближение к пределу выражается добавлением исчезающей поправки.

Как это устроено

Последовательность удобно представлять как точки на числовой прямой, каждой из которых присвоен натуральный номер. Номер задаёт порядок и помогает сравнивать ранние и поздние значения; непрерывных промежуточных значений между соседними номерами нет. Поэтому последовательность — не непрерывная функция, а отдельный набор значений, и нас интересует, что происходит с точками при росте номера.

Приближение к пределу не означает, что каждый следующий член обязательно ближе предыдущего: значения могут колебаться. Требуется другое: как бы малую точность ни задали, все достаточно поздние члены должны оказаться в окрестности предела, то есть на расстоянии меньше этой точности. Ранние члены могут быть далеко от A, поскольку поведение конечного числа первых значений не определяет предел.

Формально условие записывают так: для любого ε > 0 существует натуральное N, такое что при всех n > N выполняется |aₙ − A| < ε. Число ε задаёт допустимое расстояние от члена до предела, а N указывает, с какого места условие гарантированно выполняется. N может зависеть от ε: чем строже требование к близости, тем дальше иногда приходится начинать проверку.

Два разных предела невозможны. Предположим, что последовательность приближается к A и B, где A ≠ B; тогда расстояние между A и B положительно. Можно выбрать вокруг этих чисел настолько маленькие окрестности, что они не пересекаются, но по условию все достаточно поздние члены должны попасть в обе окрестности. Это невозможно для одного и того же члена, поэтому предел может быть только один.

Свойства пределов позволяют находить предел сложного выражения по пределам его частей, не возвращаясь каждый раз к определению. Если aₙ → A и bₙ → B, то сумма, разность и произведение имеют пределы A + B, A − B и AB; при умножении на постоянное число предел также умножается на это число. Для частного нужно дополнительно, чтобы B ≠ 0: тогда знаменатель при больших n не приближается к нулю, и предел равен A/B.

Основные свойства пределов последовательностей

В таблице обозначения lim aₙ и lim bₙ относятся к пределам соответствующих последовательностей при n → ∞. Сначала проверьте условия в средней колонке, затем выполните указанное действие над пределами. Для частного отдельно убедитесь, что предел знаменателя не равен нулю.

Разбор задач

Найдём предел aₙ = (2n + 1)/(n + 3). При больших n главную роль в числителе и знаменателе играют слагаемые с n, но удобнее показать это точно, разделив обе части дроби на n. После преобразования останутся выражения, пределы которых уже известны.

1. Делим числитель и знаменатель на n: aₙ = (2 + 1/n)/(1 + 3/n).
2. Так как 1/n → 0, числитель стремится к 2, а знаменатель — к 1.
3. Предел знаменателя равен 1 и не равен нулю, поэтому применяем свойство предела частного: lim aₙ = 2/1 = 2.

Ответ: 2.

Теперь найдём предел aₙ = √(n² + n) − n. При прямом рассуждении два больших выражения вычитаются, поэтому полезно устранить разность корня и числа. Домножение на сопряжённое выражение превращает её в дробь, где сокращение становится заметным.

1. Домножаем и делим на √(n² + n) + n: aₙ = ((n² + n) − n²)/(√(n² + n) + n) = n/(√(n² + n) + n).
2. При n > 0 выносим n из корня: √(n² + n) = n√(1 + 1/n). Сокращаем n в дроби и получаем 1/(√(1 + 1/n) + 1).
3. Так как 1/n → 0, корень стремится к 1. Знаменатель стремится к 2, поэтому предел дроби равен 1/2.

Ответ: ½.

Докажем, что aₙ = (−1)ⁿ не имеет предела. Здесь не нужно пытаться угадать число по нескольким первым членам: чётные и нечётные номера дают повторяющиеся значения, причём две группы ведут себя по-разному.

1. Если n чётное, то aₙ = 1. Члены с чётными номерами образуют постоянную подпоследовательность с пределом 1.
2. Если n нечётное, то aₙ = −1. Члены с нечётными номерами образуют постоянную подпоследовательность с пределом −1.
3. Если бы исходная последовательность имела предел, обе подпоследовательности имели бы тот же предел. Но 1 ≠ −1, значит, такого общего предела нет.

Ответ: последовательность расходится, то есть предела не имеет.

Типичные ошибки

Судить по первым членам. Несколько значений могут приближаться к одному числу, а позднее поведение окажется другим. Ошибку допускают, принимая наблюдение за доказательство; проверяйте условие для всех n, начиная с некоторого N.

Путать предел с членом последовательности. Предел может не совпадать ни с одним значением, как ноль у последовательности 1/n. Такое ожидание возникает из привычки искать уже имеющееся число; проверьте, достаточно ли близки к предполагаемому пределу поздние члены.

Применять правило частного без проверки знаменателя. Если его предел равен нулю, правило не даёт основания делить пределы, и результат может быть неопределённым. Перед вычислением найдите предел знаменателя и убедитесь, что он отличен от нуля.

Не проверять чётные и нечётные члены чередующейся последовательности. Колебания могут сохраняться сколь угодно далеко, хотя отдельные группы членов ведут себя просто. Ошибку предотвращает сравнение пределов подпоследовательностей: разные значения означают, что общего предела нет.

Связь с другими темами

Для работы с пределами нужны натуральные числа, модуль, неравенства и умение преобразовывать алгебраические выражения: именно они помогают записать условие близости и упростить формулу. Предел последовательности подготавливает изучение предела функции и непрерывности, где исследуют значения при приближении аргумента к точке. На этом понятии также строятся определения производной и числа e, а значит, оно помогает описывать скорость изменения и бесконечные процессы.

Что запомнить

• Последовательность задаёт числовые значения, пронумерованные натуральными числами.
• Предел — число, к которому приближаются члены последовательности при n, стремящемся к бесконечности.
• Для любого ε > 0 начиная с некоторого номера все члены отличаются от предела меньше чем на ε.
• Сходящаяся последовательность имеет единственный предел.
• Предел постоянной последовательности равен её постоянному значению.
• Предел суммы, разности и произведения равен соответствующей операции над пределами.
• При нахождении предела частного нужно убедиться, что предел знаменателя не равен нулю.