"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия (базовый и углублённый уровни)", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Бесконечно малая функция — это функция, значения которой стремятся к нулю при заданном предельном переходе: например, когда x приближается к точке или уходит к бесконечности. Такие функции помогают упрощать выражения и находить пределы без сложных вычислений. Сумма и разность бесконечно малых тоже бесконечно малы, а произведение остаётся таким при умножении на ограниченную функцию. Для отношения нужно отдельно проверить, что знаменатель стремится к ненулевому числу.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Функцию α(x) называют бесконечно малой при x → a, если lim(x→a) α(x) = 0. Запись означает, что при приближении аргумента x к числу a значения α(x) становятся сколь угодно близкими к нулю. Сама функция при этом не обязана быть равной нулю в точке a или рядом с ней. Определение позволяет описывать поведение функции около точки, даже если её значение в этой точке не задано.
При стремлении аргумента к бесконечности бесконечно малой называют функцию, значения которой стремятся к нулю, когда x неограниченно возрастает или убывает. Для возрастания записывают lim(x→+∞) α(x) = 0, для убывания — lim(x→−∞) α(x) = 0. Например, 1/x стремится к нулю при x → +∞ и при x → −∞. Указание направления важно: поведение функции при разных предельных переходах может отличаться.
Функция f ограничена в окрестности точки a, если существует такое число M, что |f(x)| ≤ M для всех рассматриваемых x достаточно близко к a. Окрестность — это промежуток вокруг точки; саму точку можно не включать, если функция там не определена. Ограниченность не требует, чтобы значения приближались к одному числу, — достаточно общего предела для их модуля. Это условие понадобится, чтобы оценивать произведения функций.
Если α(x) и β(x) — бесконечно малые при одном и том же предельном переходе, то их сумма и разность тоже стремятся к нулю. Причина видна из неравенств |α + β| ≤ |α| + |β| и |α − β| ≤ |α| + |β|. Правая часть в обоих случаях стремится к нулю, потому что каждый модуль стремится к нулю. Значит, ни сумма, ни разность не могут сохранять заметную величину возле предельной точки.
Умножение бесконечно малой α(x) на постоянное число c также даёт бесконечно малую функцию. Действительно, |cα(x)| = |c|·|α(x)|, а постоянный множитель |c| не меняется при приближении аргумента к пределу. Если |α(x)| становится сколь угодно малым, то и произведение становится сколь угодно малым. Это свойство позволяет выносить постоянные коэффициенты при работе с пределами.
Пусть α(x) бесконечно мала, а f(x) ограничена вблизи предельной точки: |f(x)| ≤ M. Тогда |α(x)f(x)| ≤ M|α(x)|. Число M не растёт и не мешает правой части стремиться к нулю, поэтому произведение тоже стремится к нулю. Условие ограниченности существенно: без него второй множитель может расти настолько быстро, что произведение не приблизится к нулю.
Произведение двух бесконечно малых — частный случай предыдущего свойства. Если β(x) → 0, то достаточно близко к предельной точке |β(x)| ≤ 1, поэтому β там ограничена. Тогда произведение α(x)β(x) бесконечно мало по свойству произведения бесконечно малой на ограниченную функцию. Можно также заметить, что обе функции ограничены вблизи точки, но для вывода достаточно ограниченности одного множителя.
Если α(x) → 0, а β(x) → b, где b ≠ 0, то α(x)/β(x) → 0. Поскольку предел знаменателя не равен нулю, достаточно близко к предельной точке его модуль, например, больше |b|/2. Поэтому |α(x)/β(x)| не превосходит 2|α(x)|/|b| и стремится к нулю. Если предел знаменателя равен нулю, такой оценки получить нельзя и это свойство применять нельзя.
Таблица показывает, какое условие нужно проверить перед применением каждого свойства. Во всех строках функции рассматриваются при одном и том же предельном переходе. Используй её как короткую проверку: сначала найди нужный предел или установи ограниченность, затем делай вывод.
| Условие | Результат |
|---|---|
| Сумма или разность бесконечно малых функций | Бесконечно малая функция |
| Бесконечно малая функция, умноженная на постоянную | Бесконечно малая функция |
| Произведение бесконечно малой и ограниченной функций | Бесконечно малая функция |
| Произведение двух бесконечно малых функций | Бесконечно малая функция |
| Отношение бесконечно малой функции к функции с ненулевым пределом | Бесконечно малая функция |
Задача 1. При x → 0 определить, является ли функция 3x² − 5x бесконечно малой. Сначала разделим выражение на слагаемые, чтобы применить свойства к знакомым функциям. Здесь не нужно вычислять предел всего выражения напрямую.
Ответ: функция бесконечно мала при x → 0. Задача 2. При x → 0 исследовать произведение x sin(1/x). Аргумент синуса 1/x сам по себе не стремится к определённому числу, поэтому искать предел sin(1/x) не требуется.
Ответ: x sin(1/x) → 0 при x → 0. Задача 3. При x → 0 исследовать функцию (x² + sin x)/(2 + cos x). Здесь удобно отдельно проверить числитель и знаменатель: для частного важен ненулевой предел знаменателя.
Ответ: предел функции при x → 0 равен 0. Проверка предела знаменателя здесь обязательна: одного факта, что числитель стремится к нулю, для вывода о частном недостаточно.
Ошибка — считать произведение бесконечно малой на любую функцию бесконечно малым. Так рассуждают, перенося свойство произведения двух бесконечно малых на случай произвольного множителя. Но второй множитель может быть неограниченным и компенсировать стремление первого к нулю. Проверь, известно ли, что он ограничен; например, x·(1/x) при x → 0 не стремится к нулю.
Нельзя применять свойство частного, не проверив предел знаменателя. Если знаменатель стремится к нулю, его модуль не отделён от нуля, и оценка частного может не работать. Иногда правило ошибочно переносят с деления на постоянное ненулевое число на деление на любую функцию. Перед выводом вычисли предел знаменателя и убедись, что он не равен нулю.
Функцию называют бесконечно малой не потому, что некоторые её значения близки к нулю, а потому, что она стремится к нулю при конкретном предельном переходе. Отдельные малые значения могут встречаться и у функции, которая затем принимает большие значения. Чтобы проверить себя, назови, к чему стремится аргумент, и установи существование предела функции, равного нулю.
Сумма бесконечно малых не обязана быть положительной или отрицательной. Знак зависит от знаков слагаемых: например, при x → 0 сумма x + (−x) равна нулю, а x² + x меняет знак вместе с x. Иногда знак ошибочно переносят с одного слагаемого на всю сумму. Проверяй знак отдельно, подставляя подходящие значения аргумента; для доказательства бесконечной малости знак вообще не нужен.
Для работы с бесконечно малыми нужно знать определение предела функции и уметь применять арифметические действия с пределами. Эти свойства помогают упрощать выражения и обосновывать вычисление пределов: вместо сложного выражения можно изучить его слагаемые и множители. Ограниченность связывает тему с оценками функций, которые позволяют контролировать их значения без точного вычисления. Позже такие рассуждения пригодятся при более подробном изучении пределов.
Что называют бесконечно малой функцией?
Это функция, предел которой при выбранном предельном переходе равен нулю. Например, x является бесконечно малой при x → 0.
Обязательно ли бесконечно малая функция должна быть равна нулю?
Нет, её значения не обязаны быть нулевыми. Они должны лишь становиться сколь угодно близкими к нулю при приближении аргумента к указанной точке или к бесконечности.
Почему произведение бесконечно малой на ограниченную функцию стремится к нулю?
У ограниченной функции модуль не превосходит некоторого числа M. Поэтому модуль произведения не больше M, умноженного на модуль бесконечно малой, а эта величина стремится к нулю.
Можно ли делить бесконечно малую функцию на другую бесконечно малую?
Не всегда: отношение двух бесконечно малых может стремиться к разному числу, не иметь предела или даже неограниченно возрастать. Свойство бесконечно малой частного работает, когда знаменатель имеет ненулевой предел.
Как проверить, что функция, стоящая в знаменателе, имеет ненулевой предел?
Нужно найти предел знаменателя при том же предельном переходе и убедиться, что он не равен нулю. Тогда достаточно близко к предельной точке знаменатель отделён от нуля.
§ 2. Свойства бесконечно малых
