2.5. Задача Эйлера

Определения и обозначения

Многогранник — тело, поверхность которого состоит из многоугольников. У выпуклого многогранника отрезок между любыми двумя его точками целиком лежит внутри тела или на его поверхности. Именно для таких тел рассматривают задачу Эйлера, поэтому перед применением формулы нужно установить, что многогранник выпуклый.

Вершина многогранника — общая точка, в которой сходятся рёбра. Считая вершины, находят точки соединения частей поверхности, а не только те, что видны на рисунке. Обычно число вершин обозначают буквой V.

Ребро многогранника — отрезок, по которому пересекаются две грани. Рёбра образуют границы многоугольников и соединяют вершины, поэтому при подсчёте нужно учитывать и невидимые на чертеже отрезки. Число рёбер обозначают E.

Грань многогранника — многоугольник, составляющий часть его поверхности. Подсчитывая грани, учитывают все плоские участки поверхности, в том числе обращённые от наблюдателя. Их число обозначают F.

Как это устроено

Можно ли по количеству вершин определить, сколько у тела рёбер и граней? Эти числа связаны не отдельной формой куба или призмы, а тем, как части поверхности соединены друг с другом. Поэтому задачу Эйлера ставят для выпуклого многогранника: требуется найти связь между V, E и F, которая сохранится при изменении его размеров и формы.

Чтобы заметить связь, удобно сначала посчитать элементы простых тел. У тетраэдра четыре вершины, шесть рёбер и четыре грани, а у куба — восемь вершин, двенадцать рёбер и шесть граней. Если вычислить V − E + F для каждого, получится одно и то же число — 2. Сравнение примеров подсказывает закономерность, но само по себе ещё не заменяет формулировку правила.

Для любого выпуклого многогранника формула Эйлера записывается так: V − E + F = 2. Здесь V — число вершин, E — число рёбер, F — число граней. Равенство показывает, что ни одно из этих чисел нельзя произвольно менять независимо от остальных. При этом оно не сообщает отдельно значения каждого из них, а задаёт связь между всеми тремя.

Условие выпуклости нельзя опускать: оно входит в формулировку используемого здесь результата. На произвольных поверхностях могут возникать особенности, из-за которых привычная связь между вершинами, рёбрами и гранями меняется. Поэтому найденное равенство для выпуклых тел не следует автоматически объявлять верным для любого многогранника или любой поверхности. Сначала проверяют, подходит ли объект под условия формулы.

Формулу можно преобразовать, если два числа известны. Например, перенося V и E в правую часть равенства, получаем F = 2 − V + E; аналогично можно выразить V или E. Затем подставляют данные и проверяют, что найденное число целое и согласуется с устройством тела. Такой способ позволяет решить задачу без построения многогранника.

Число вершин, рёбер и граней у многогранников

В строках с конкретными телами можно пересчитать элементы и проверить результат вычислением V − E + F. Последняя строка показывает общий вывод для выпуклого многогранника, а не конкретные значения V, E и F. Если результат подсчёта отличается от двух, стоит проверить, не пропущены ли невидимые рёбра или грани.

Разбор задач

Задача 1. У тетраэдра 4 вершины, 6 рёбер и 4 грани. Проверьте, выполняется ли формула Эйлера. Нужно не угадывать ответ по виду тела, а подставить данные в равенство и сравнить результат с правой частью.

1. Запишем формулу для выпуклого многогранника: V − E + F = 2. Тетраэдр выпуклый, поэтому формулу можно применить.
2. Подставим числа: 4 − 6 + 4 = 2. Сначала вычислим 4 − 6 = −2, затем −2 + 4 = 2.
3. Полученный результат совпал с правой частью формулы. Значит, для указанных чисел равенство выполняется.

Ответ: да, формула выполняется.

Задача 2. У выпуклого многогранника 8 вершин и 12 рёбер. Найдём число граней. Поскольку известны V и E, выразим F из формулы, а затем подставим данные.

1. Начинаем с равенства V − E + F = 2. Переносим слагаемые и получаем F = 2 − V + E.
2. Подставляем V = 8 и E = 12: F = 2 − 8 + 12. Выполняем вычисления слева направо: 2 − 8 = −6, −6 + 12 = 6.
3. Получили целое положительное число граней. Проверим подстановкой: 8 − 12 + 6 = 2, значит вычисление согласуется с формулой.

Ответ: 6 граней.

Задача 3. У выпуклого многогранника все грани — треугольники, а вершин 6. Найдём число рёбер и граней. Одной формулы Эйлера недостаточно для двух неизвестных, поэтому добавим подсчёт сторон граней.

1. Если граней F и каждая из них треугольная, всего у граней 3F сторон. Каждое ребро является стороной двух граней, поэтому тот же подсчёт равен 2E: 3F = 2E.
2. Из формулы Эйлера при V = 6 получаем 6 − E + F = 2, то есть E = F + 4. Подставляем это в 3F = 2E и получаем 3F = 2(F + 4).
3. Раскрываем скобки: 3F = 2F + 8, откуда F = 8. Тогда E = F + 4 = 12; проверка даёт 6 − 12 + 8 = 2.

Ответ: 12 рёбер и 8 граней.

Типичные ошибки

Путать число рёбер с числом сторон всех граней. Ошибка возникает, когда при подсчёте сторон многоугольников забывают, что общая сторона двух граней является одним ребром, но встречается в подсчёте два раза. Чтобы проверить себя, сопоставьте сумму сторон всех граней с 2E, а не с E.

Не учитывать невидимые рёбра. На перспективном рисунке часть тела закрыта, и кажется, будто спрятанные от взгляда рёбра отсутствуют. Мысленно проследите границы граней за видимой частью или используйте сведения о типе многогранника. После подсчёта подставьте значения в формулу и проверьте, получается ли 2.

Менять знаки в формуле. Если записать V + F − E или неверно перенести слагаемое, искомое число окажется другим. Ошибку допускают, когда преобразуют равенство на ходу и не проверяют результат. Сначала перепишите V − E + F = 2, а найденные значения затем подставьте в исходную запись.

Применять формулу без проверки условий. Увидев многогранник, можно решить, что правило подходит ему автоматически, хотя в данной теме оно установлено для выпуклых тел. Проверяйте выпуклость до вычислений и не переносите результат на произвольную поверхность без обоснования. Если условие задачи не уточняет тип объекта, сначала выясните, допустимо ли применять формулу.

Связь с другими темами

Для работы с задачей Эйлера нужно уверенно различать вершины, рёбра и грани и уметь считать их, включая невидимые на чертеже элементы. Это связывает тему с геометрией пространственных тел и чтением их изображений. Формула помогает проверять подсчёты и находить недостающее число элементов, когда остальные данные известны. Она также служит отправной точкой для изучения более общих свойств поверхностей.

Что запомнить

• У выпуклого многогранника V − E + F = 2.
• V обозначает число вершин, E — число рёбер, F — число граней.
• Формула связывает числа элементов, но не зависит от размеров и формы многогранника.
• Каждое ребро многогранника принадлежит двум граням.
• Перед применением формулы проверьте, что рассматривается выпуклый многогранник.