§ 29*. Сферические координаты в пространстве

Определения и обозначения

Сферические координаты точки — три числа, задающие её положение относительно выбранного начала координат и оси. Их записывают как (r, θ, φ): одно число отвечает за расстояние, два других — за направление. Такая запись полезна, когда точку удобнее описывать относительно центра, а не отдельно по трём осям.

Радиус-вектор точки — вектор, проведённый из начала координат к этой точке. Его длина обозначается r и является первой сферической координатой; поэтому r ≥ 0. Радиус-вектор показывает направление на точку, а длина позволяет определить, насколько далеко она расположена.

Полярный угол θ — угол между радиус-вектором и положительным направлением оси Oz. Он принимает значения от 0 до π включительно: 0 ≤ θ ≤ π. Этот угол показывает, насколько радиус-вектор отклонён от вертикальной оси.

Азимутальный угол φ — угол между положительным направлением Ox и проекцией радиус-вектора на плоскость Oxy. Обычно его отсчитывают от Ox в сторону положительного поворота в плоскости и выбирают 0 ≤ φ < 2π. Азимут нужен, чтобы различать направления вокруг оси Oz; если проекция равна нулю, её направление не задаётся.

Как это устроено

Чтобы задать точку в пространстве, сначала нужно указать, на каком расстоянии от начала координат она находится. Но все точки на одной сфере радиуса r одинаково удалены от начала, поэтому одного расстояния недостаточно. Направление радиус-вектора задают двумя углами: одним наклоняют его относительно Oz, другим поворачивают вокруг этой оси.

Полярный угол связан с вертикальной составляющей радиус-вектора. Если опустить перпендикуляр к плоскости Oxy, образуется прямоугольный треугольник с гипотенузой r; вертикальный катет равен r cos θ. Горизонтальный катет, то есть длина проекции на Oxy, равен r sin θ. Поэтому θ определяет высоту точки и удаление её проекции от начала координат.

Азимут φ задаёт положение горизонтальной проекции внутри плоскости Oxy. В прямоугольном треугольнике с гипотенузой r sin θ её составляющие равны x = r sin θ cos φ и y = r sin θ sin φ. Вертикальная координата уже найдена как z = r cos θ. Так получаются формулы перехода к декартовым координатам: x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos θ.

Обратный переход начинают с длины радиус-вектора: r = √(x² + y² + z²), что следует из теоремы Пифагора. Затем θ находят из cos θ = z/r, а φ — по направлению проекции (x, y), учитывая знаки обеих координат и четверть. Если x ≠ 0, отношение y/x даёт tg φ, но само по себе не выбирает нужную четверть; надёжнее ориентироваться на знаки x и y. В начале координат r = 0 и углы не определены; на оси Oz проекция равна нулю, поэтому φ произволен.

Сферические координаты и их связь с декартовыми

Для перехода к декартовым координатам сначала определите, какая составляющая соответствует каждому углу: θ задаёт высоту и длину горизонтальной проекции, а φ делит эту проекцию между осями Ox и Oy. При обратном переходе найдите r, затем углы, проверяя четверть по знакам x и y. Особые случаи лучше проверять отдельно, поскольку обычные формулы для углов там не дают единственного ответа.

Разбор задач

Задача 1. Найти декартовы координаты точки с сферическими координатами (4, π/3, π/6). Сначала используем формулы перехода, а затем проверим знаки результата по углам. При θ = π/3 точка расположена выше плоскости Oxy, а φ = π/6 направляет проекцию в первую четверть.

1. Вычислим x: x = 4 sin(π/3) cos(π/6) = 4 · (√3/2) · (√3/2) = 3. Оба множителя положительны, поэтому x положителен. Это согласуется с направлением проекции.
2. Вычислим y: y = 4 sin(π/3) sin(π/6) = 4 · (√3/2) · (1/2) = √3. Значение положительно, как и должно быть для первой четверти. Проверка по углу помогает заметить ошибку в знаке.
3. Вычислим z: z = 4 cos(π/3) = 2. Так как полярный угол острый, точка находится над плоскостью Oxy. Ответ: (3, √3, 2).

Задача 2. Найти сферические координаты точки A(−1, √3, 2). Она не лежит на оси Oz, поэтому её проекция имеет направление и азимут можно определить. Для выбора углов важно не ограничиваться вычислением тангенса: знаки x и y задают четверть проекции.

1. Найдём радиус: r = √(x² + y² + z²) = √(1 + 3 + 4) = √8 = 2√2. Длина положительна, как и требуется для радиуса-вектора. Это первая сферическая координата.
2. Для полярного угла cos θ = z/r = 2/(2√2) = 1/√2, поэтому θ = π/4. Поскольку z положительно, точка выше плоскости Oxy, что согласуется с острым углом. Угол θ выбирается в диапазоне от 0 до π.
3. Для азимута tg φ = y/x = −√3, но x < 0 и y > 0, значит проекция лежит во второй четверти. Поэтому φ = 2π/3, а не угол с таким же тангенсом в другой четверти. Ответ: (2√2, π/4, 2π/3).

Задача 3. Определить все допустимые сферические координаты точек A(0, 0, 5), B(0, 0, −5) и O(0, 0, 0). Первые две лежат на оси Oz, их проекции на Oxy равны нулю. В начале координат дополнительно исчезает сам радиус-вектор.

1. Для A радиус r = 5, а радиус-вектор направлен вдоль положительной Oz, значит θ = 0. Азимут φ произволен, поскольку нулевая проекция не имеет направления. Координаты: (5, 0, φ), где φ можно выбрать любым допустимым значением.
2. Для B радиус также равен 5, но радиус-вектор направлен против положительного направления Oz, поэтому θ = π. Азимут снова произволен. Координаты: (5, π, φ), где φ выбирается произвольно.
3. Для O получаем r = 0. При нулевом радиус-векторе его направление не существует, поэтому ни θ, ни φ не определены. Ответ: начало координат задаётся r = 0, а углы не задаются.

Типичные ошибки

Путать полярный и азимутальный углы: θ отсчитывают от Oz, а φ задаёт направление проекции в Oxy. Ошибка возникает, когда оба угла воспринимают просто как повороты радиус-вектора. Проверьте определение: θ связан с наклоном к вертикали, φ — с поворотом вокруг вертикальной оси.

Менять местами sin θ и cos θ в формулах для координат. Такое случается, если забыть, что θ отсчитывают от Oz: вертикальная составляющая тогда равна r cos θ, а горизонтальная — r sin θ. Проверка по точке на положительной оси Oz проста: при θ = 0 должно получиться z = r и x = y = 0.

Находить φ только из отношения y/x и не учитывать четверть. Тангенс может соответствовать углам, направления которых отличаются на π, поэтому одинаковое значение отношения не гарантирует правильный азимут. До выбора φ проверьте знаки x и y; по ним определяется четверть проекции.

Считать сферические координаты единственными для любой точки. В начале координат направления нет вовсе, а на оси Oz проекция не задаёт азимут; это не недостаток формул, а следствие геометрии. Проверяйте, не равны ли одновременно x и y нулю: если да, φ не определяется однозначно.

Связь с другими темами

Для работы со сферическими координатами нужны декартова система координат в пространстве, координаты вектора и теорема Пифагора. Именно теорема Пифагора даёт формулу длины радиус-вектора, а координаты проекций помогают восстановить положение точки. Переход между сферическими и декартовыми координатами пригодится при описании сфер и областей пространства, а также в стереометрии и аналитической геометрии.

Что запомнить

• Сферические координаты задают расстояние до начала координат и два угла направления.
• Радиус r неотрицателен.
• Полярный угол θ отсчитывают от положительного направления Oz.
• Азимутальный угол φ задаёт направление проекции на плоскость Oxy.
• x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos θ.
• В начале координат углы не определены; на оси Oz азимут произволен.