"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (углублённый уровень)", Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И.
Правильная призма — прямая призма с правильным многоугольником в основании. Её симметрии помогают увидеть, какие повороты сохраняют форму тела и как связаны свойства призмы с симметриями многоугольника. Главная ось проходит через центры оснований: вокруг неё призма совмещается сама с собой при углах 2πk/n, где n — число сторон основания. Поэтому порядок такой симметрии равен n, а наименьший ненулевой угол — 2π/n. У некоторых призм есть и другие оси поворота.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Правильная призма — прямая призма, в основании которой лежит правильный многоугольник. Её основания равны и параллельны, а боковые рёбра перпендикулярны основаниям. Для симметрий важны форма основания, его центр, высота призмы и расположение боковых граней.
Поворотная симметрия — преобразование поворотом вокруг некоторой оси на угол, после которого фигура совмещается сама с собой. При таком движении расстояния и форма частей тела не меняются, меняется только их положение. Это понятие позволяет описать повторяемость элементов призмы.
Ось поворотной симметрии — прямая, вокруг которой можно повернуть фигуру так, чтобы она перешла в себя. Для призмы такой осью может быть прямая через центры оснований или другая прямая, если поворот сохраняет все грани и вершины. Указание оси необходимо, потому что допустимые углы зависят от её направления.
Порядок поворотной симметрии — число различных поворотов вокруг данной оси, включая поворот на полный оборот, которые совмещают фигуру с собой. Например, полный оборот возвращает тело в исходное положение и всегда учитывается. Порядок показывает, сколько раз симметричное соответствие повторяется за один оборот.
Проведём прямую через центры двух оснований правильной призмы — это её главная ось. Поворот вокруг неё не меняет расстояние каждой точки от оси и не сдвигает точки по высоте. Поэтому основания остаются на своих уровнях, а их вершины могут лишь переставляться по кругу; боковые грани вслед за ними переходят друг в друга.
Основание призмы — правильный n-угольник, поэтому оно сохраняется только при поворотах на углы, соответствующие его поворотной симметрии. За полный оборот 2π можно сделать n одинаковых шагов, и каждый шаг составляет 2π/n. Следовательно, допустимы углы 2πk/n, где k — целое число; значения, отличающиеся на полный оборот, описывают одно и то же положение.
В пределах одного полного оборота имеется n различных положений, при которых основание совпадает с исходным. Это и задаёт порядок симметрии призмы вокруг главной оси. Наименьший ненулевой поворот соответствует одному шагу между соседними вершинами и равен 2π/n; меньший угол не переставляет вершины так, чтобы многоугольник совпал с собой.
У правильного многоугольника есть оси зеркальной симметрии, и они задают возможные направления горизонтальных осей призмы. Такая ось проходит посередине высоты, перпендикулярна главной оси и направлена вдоль соответствующей оси основания. При повороте на 180° высота меняет направление, поэтому верхнее и нижнее основания меняются местами; в плоскости основания их вершины одновременно отражаются относительно выбранного направления, и именно симметрия многоугольника обеспечивает совпадение.
Главная и горизонтальные оси объясняют типичные симметрии, но не дают универсального списка всех осей для каждого частного тела. У куба, например, из-за равенства рёбер появляются дополнительные повороты, которые не сводятся к обычному описанию осей призмы с произвольными размерами. Поэтому для конкретной призмы нужно проверять, куда переходят её основания, вершины и грани при повороте.
| Характеристика | Ось через центры оснований | Горизонтальная ось через середину призмы |
|---|---|---|
| Направление оси | Вдоль высоты, через центры оснований | Посередине высоты, перпендикулярно главной оси |
| Какие части призмы переходят друг в друга | Вершины оснований и боковые грани переставляются по кругу; основания остаются на месте | Верхнее и нижнее основания меняются местами; боковые грани также переставляются |
| Допустимые повороты | На углы 2πk/n | На 0° и 180°, если направление соответствует оси симметрии основания |
| Наименьший ненулевой угол | 2π/n | 180° |
| Порядок симметрии | n | 2 |
Чтобы пользоваться таблицей, сначала определите, вокруг какой оси рассматривается поворот: главной или горизонтальной. Затем сопоставьте допустимый угол с соответствующей строкой и проверьте, какие части призмы должны поменяться местами. Для горизонтальной оси дополнительно убедитесь, что её направление связано с осью симметрии основания.
Задача 1. Правильная треугольная призма поворачивается вокруг оси, проходящей через центры оснований. Найдём наименьший ненулевой угол и порядок симметрии. В основании три стороны, поэтому в формуле для главной оси берём n = 3. Число сторон задаёт количество равных поворотных шагов за полный оборот.
Ответ: наименьший угол — 120°, порядок симметрии — 3. Остальные допустимые повороты получаются добавлением такого же шага.
Задача 2. Перечислим повороты правильной шестиугольной призмы вокруг главной оси, которые переводят её в себя. Здесь n = 6, значит, допустимые углы имеют вид 2πk/6. Учитываем положения в пределах одного полного оборота, а полный оборот записываем отдельно как возвращение в исходное положение.
Ответ: различные положения соответствуют поворотам на 0°, 60°, 120°, 180°, 240° и 300°; поворот на 360° — полный оборот, тождественный повороту на 0°.
Задача 3. Укажем горизонтальные оси, вокруг которых правильная пятиугольная призма совмещается сама с собой. Для этого нужно найти оси симметрии правильного пятиугольника в основании и продолжить их направления через середину призмы. Поворот вокруг такой горизонтальной прямой на 180° меняет основания местами, поэтому важно, чтобы отражение вершин основания относительно выбранного направления сохраняло пятиугольник.
Ответ: таких горизонтальных осей пять. Вокруг каждой поворот на 180° переводит призму в себя.
Считать, что вокруг главной оси подходит любой угол. Так ошибаются, представляя призму сплошным цилиндром; но её основание имеет отдельные вершины и стороны. Проверка: убедитесь, что после поворота каждая вершина основания попадает на вершину, а не между вершинами.
Путать число сторон основания с порядком симметрии вокруг любой оси. Число n задаёт порядок именно для главной оси, а горизонтальный поворот на 180° обычно имеет порядок 2. Проверяйте сначала выбранную ось, затем считайте разные положения за полный оборот.
Забывать, что при повороте на 180° вокруг горизонтальной оси основания меняются местами. Ошибка возникает, если мысленно вращать только вид основания и не учитывать высоту тела. Для проверки проследите за верхним основанием: после поворота оно должно оказаться внизу, а нижнее — наверху.
Считать главную и горизонтальные оси единственными у любой правильной призмы. Обычно перечисляют именно эти типы, но особые размеры тела могут дать дополнительные совпадения, как у куба. Проверяйте конкретный поворот на всех вершинах и гранях, а не только по общему правилу.
Для понимания симметрий призмы нужно знать, что такое правильный многоугольник, и уметь находить его оси симметрии. Понятие центральной симметрии помогает сравнивать разные способы преобразования фигур, хотя поворотная симметрия вокруг оси рассматривается в пространстве. Тема опирается на движения пространства — преобразования, сохраняющие расстояния, — и готовит к изучению симметрий многогранников и групп преобразований. Свойства основания позволяют предсказывать симметрии всего тела.
Почему правильная призма совмещается сама с собой при повороте вокруг оси через центры оснований?
Эта ось проходит через центры обоих оснований, поэтому поворот вокруг неё действует на основания как поворот вокруг их центра. При углах, сохраняющих правильный многоугольник, вершины и стороны оснований переходят в соответствующие вершины и стороны. Боковые грани при этом переставляются между собой.
Как найти наименьший угол поворота для правильной n-угольной призмы?
Нужно разделить полный оборот 2π на число сторон основания n. Получится угол 2π/n. Это наименьший положительный угол, при котором призма совмещается сама с собой вокруг главной оси.
Что называют порядком поворотной симметрии?
Это число различных поворотов вокруг выбранной оси, которые переводят фигуру в себя, включая полный оборот. Для главной оси правильной n-угольной призмы порядок равен n. Порядок зависит от того, какую ось рассматривают.
Почему при повороте вокруг горизонтальной оси основания меняются местами?
Горизонтальная ось проходит посередине между основаниями, а поворот на 180° меняет направление высоты на противоположное. Поэтому верхнее основание занимает место нижнего, а нижнее — верхнего. Чтобы призма совпала сама с собой, направление этой оси должно соответствовать оси симметрии многоугольника основания.
Могут ли у правильной призмы быть дополнительные оси поворотной симметрии?
Да. Главная ось и горизонтальные оси описывают важные случаи, но не всегда перечисляют все возможные оси конкретного тела. Например, у куба есть дополнительные оси, связанные с его особыми свойствами.
22.4. Симметрия правильных призм. Поворотная симметрия
