26.4. Симметрия правильных многогранников

Определения и обозначения

Симметрия многогранника — движение пространства, переводящее многогранник в себя. После движения сохраняются его форма и взаимное расположение вершин, рёбер и граней: например, соседние грани остаются соседними. Это определение помогает отличить настоящую симметрию от простого сходства частей фигуры.

Ось симметрии — прямая, вокруг которой поворот на угол, меньший полного оборота, переводит многогранник в себя. Порядок оси показывает, сколько совпадений происходит за полный оборот; например, ось 3-го порядка допускает поворот на 120°. Порядок нужен, чтобы различать виды вращательной симметрии.

Плоскость симметрии — плоскость, относительно которой отражение переводит многогранник в себя. Она делит его на части, зеркально соответствующие друг другу, хотя сама плоскость может проходить через грани, рёбра или вершины. Проверка отражением позволяет установить, подходит ли конкретная плоскость.

Центр симметрии — точка, относительно которой центральная симметрия переводит многогранник в себя. При таком преобразовании каждой точке соответствует точка на противоположной стороне центра, на таком же расстоянии от него. Центр есть не у каждого правильного многогранника, поэтому его наличие нужно проверять.

Как это устроено

У правильного многогранника все грани — равные правильные многоугольники, но равенства граней недостаточно для симметрии. Движение может переставлять грани, рёбра и вершины, только если сохраняет связи между ними: какие грани имеют общее ребро, какие рёбра сходятся в вершине. Иначе после движения отдельные части могут совпасть, а весь многогранник — нет. Поэтому симметрии удобно искать как допустимые перестановки равных элементов.

Оси вращения можно искать по особым элементам многогранника: его вершинам, центрам граней и серединам рёбер. Если прямая проходит через вершину и центр противоположной грани или через центры двух противоположных граней, проверьте, циклически ли переставляются остальные элементы при повороте. Порядок оси определяется числом положений за полный оборот, в которых фигура совпадает с исходной. Например, три совпадения означают ось 3-го порядка, а не наличие трёх разных осей.

Чтобы найти плоскость симметрии, сначала выберите возможные положения плоскости относительно вершин, рёбер и граней. Затем мысленно отразите многогранник: элемент, лежащий по одну сторону плоскости, должен перейти в равный элемент по другую сторону, а точки на самой плоскости остаться на месте. Такая проверка нужна, потому что плоскость через центр может разделить фигуру на неравные или несовпадающие части. Только совпадение всего многогранника подтверждает симметрию.

Наборы симметрий различаются у пяти правильных многогранников. У тетраэдра есть оси 2-го и 3-го порядка, у куба и октаэдра — также оси 4-го, а у додекаэдра и икосаэдра вместо них есть оси 5-го порядка. Куб и октаэдр двойственны: вершинам одного соответствуют грани другого, а рёбра соответствуют рёбрам. Аналогичная связь есть у додекаэдра и икосаэдра, поэтому в каждой паре совпадают числа осей каждого порядка и плоскостей.

Центр симметрии проверяют по противоположным вершинам: каждой вершине должна соответствовать другая, расположенная по другую сторону центра на том же расстоянии. Если это выполняется для всех вершин, отражение относительно точки также сопоставляет рёбра и грани. У тетраэдра четыре вершины, и центральная симметрия должна разбить их на две пары; однако его геометрическое расположение не допускает такого соответствия с сохранением всех рёбер и граней. Поэтому центр у тетраэдра отсутствует.

Элементы симметрии правильных многогранников

В таблице числа в столбцах осей показывают количество различных прямых соответствующего порядка, а не число поворотов вокруг одной прямой. Например, у куба три оси 4-го порядка. Для поиска их расположения полезно учитывать, что они проходят через центры противоположных граней.

Ноль означает, что осей такого порядка у данного многогранника нет. Таблица также сразу показывает парность наборов у куба с октаэдром и у додекаэдра с икосаэдром.

Разбор задач

Повороты тетраэдра

Условие. Для правильного тетраэдра описать, какие повороты вокруг прямой через вершину и центр противоположной грани переводят его в себя. Нужно определить, что происходит с тремя вершинами противоположной грани, и найти порядок оси.

1. Зафиксируем прямую через выбранную вершину и центр противоположной грани. Вершина на этой прямой остаётся на месте при любом повороте вокруг неё, а противоположная грань поворачивается в своей плоскости.
2. Три вершины этой грани расположены симметрично вокруг центра. Поворот на 120° циклически переводит первую вершину во вторую, вторую — в третью, а третью — в первую; значит, все рёбра и грани переходят в равные соответствующие элементы.
3. Поворот на 240° выполняет обратную циклическую перестановку и тоже сохраняет тетраэдр. После 360° он возвращается в начальное положение; других совпадений за полный оборот нет.

Ответ. Это ось 3-го порядка; подходят повороты на 120°, 240° и полный оборот. Если не считать тождественное возвращение поворотом, остаются углы 120° и 240°.

Оси куба

Условие. Найти число осей симметрии куба каждого порядка и указать, через какие элементы они проходят. Разобьём возможные направления на три вида: через центры граней, через противоположные вершины и через середины противоположных рёбер.

1. Через центры трёх пар противоположных граней проходят три прямые. Вращение на 90° вокруг каждой из них переставляет четыре боковые грани циклически, поэтому это три оси 4-го порядка.
2. У куба четыре пары противоположных вершин. Прямые через каждую пару дают четыре оси 3-го порядка: поворот на 120° переставляет три вершины вокруг выбранного направления.
3. У куба двенадцать рёбер, то есть шесть пар противоположных рёбер. Прямые через середины каждой пары дают шесть осей 2-го порядка; поворот на 180° меняет местами соответствующие элементы.

Ответ. У куба 3 оси 4-го порядка, 4 оси 3-го порядка и 6 осей 2-го порядка. В сумме это 13 различных осей, проходящих соответственно через центры граней, противоположные вершины и середины противоположных рёбер.

Плоскости симметрии октаэдра

Условие. Составить полный перечень плоскостей симметрии правильного октаэдра и обосновать, что других плоскостей нет. Удобно использовать двойственность октаэдра и куба: их центры совпадают, а соответствующие симметрии переводят один многогранник в другой.

1. У куба шесть плоскостей проходят через пары противоположных рёбер: каждая содержит четыре вершины и делит куб на зеркально равные части. Ещё три плоскости проходят через середины четырёх рёбер, параллельных выбранному сечению, и соответствующие диагональные сечения; всего таких плоскостей симметрии у куба девять.
2. При переходе к двойственному октаэдру вершины куба соответствуют его граням, а грани куба — вершинам октаэдра. Поэтому те же отражения сохраняют октаэдр; в его вершинах плоскость может проходить через четыре вершины либо через две противоположные вершины и середины рёбер.
3. Других плоскостей нет: всякая плоскость симметрии октаэдра должна задавать допустимое отражение его равных граней и вершин. По соответствию с кубом такое отражение обязано быть одной из девяти уже перечисленных симметрий, так что нового положения плоскости не возникает.

Ответ. У правильного октаэдра 9 плоскостей симметрии: 6 соответствующих сечениям через противоположные рёбра куба и 3 соответствующих его диагональным сечениям. Они образуют полный перечень.

Типичные ошибки

Считать осью симметрии любую прямую через центр многогранника — ошибка: через центр проходит множество прямых, но лишь некоторые допускают сохраняющий фигуру поворот. Так ошибаются, принимая центральное положение за достаточное условие. Проверьте, куда при повороте переходят вершины и грани: если весь многогранник не совпадает с исходным, оси нет.

Путать порядок оси с количеством осей нельзя: порядок описывает число совпадений при вращении вокруг одной прямой. Путаница возникает из-за одинакового слова «число» в двух вопросах. Для самопроверки отдельно назовите прямые, а затем посчитайте положения фигуры при обороте вокруг каждой прямой.

Плоскость через центр не обязательно является плоскостью симметрии. Само прохождение через центр не гарантирует, что отражённые вершины и грани совпадут; проверить нужно действие отражения на весь многогранник. Отразите хотя бы характерные вершины и рёбра, а затем убедитесь, что каждой части соответствует равная часть по другую сторону.

Нельзя приписывать центр симметрии каждому правильному многограннику. Ошибку провоцирует представление о равномерности фигуры, но центральная симметрия требует попарно соответствующих противоположных вершин, рёбер и граней. Проверьте, можно ли сопоставить все вершины парами через одну точку и сохранить их взаимное расположение; у тетраэдра это невозможно.

Связь с другими темами

Для изучения симметрий нужно знать, что такое правильный многогранник, движение пространства, поворот и отражение. Подсчёт осей и плоскостей опирается на свойства правильных многоугольников и умение представлять расположение вершин, рёбер и граней в пространстве. Эти знания помогают в задачах на построение и классификацию многогранников, а также при дальнейшем изучении преобразований пространства и групп симметрий. В частности, идея симметрии позволяет увидеть общие свойства разных фигур и описать их точнее, чем одним перечнем граней.

Что запомнить

• Симметрия многогранника — движение, переводящее его в себя.
• Ось симметрии задаётся прямой и допустимым углом поворота.
• Плоскость симметрии проверяется отражением.
• Правильные многогранники имеют разные наборы элементов симметрии.
• Куб и октаэдр имеют одинаковые наборы осей и плоскостей симметрии.
• Додекаэдр и икосаэдр также имеют одинаковые наборы элементов симметрии.
• У правильного тетраэдра нет центра симметрии.