26.6. Полуправильные многогранники и правильные звездчатые многогранники

Определения и обозначения

Полуправильный многогранник — выпуклый многогранник, гранями которого являются правильные многоугольники, возможно разных типов. Одинаковое расположение означает, что при обходе каждой вершины встречается одна и та же последовательность граней. Это условие отличает полуправильное тело от произвольного многогранника с правильными гранями.

Конфигурация вершины — запись типов граней, сходящихся в вершине, в порядке обхода. Число 3 обозначает треугольник, 4 — квадрат, 5 — пятиугольник и так далее. Такая запись кратко описывает всё окружение вершины, включая порядок чередования граней.

Правильный звездчатый многогранник имеет правильные звёздчатые многоугольники в качестве граней, а все его вершины устроены одинаково. Звёздчатость означает, что стороны или их продолжения пересекаются и образуют лучи звезды. Поэтому при классификации учитывают не только вид граней, но и симметрию вершин.

Правильный звездчатый додекаэдр — название конкретного типа из четырёх правильных звездчатых многогранников, а не общее обозначение любого тела со звёздчатыми гранями. Обычно так называют многогранник с правильными звёздчатыми пятиугольниками и додекаэдрическим типом устройства. Слово «правильный» указывает на одинаковость граней и вершин.

Как это устроено

Правильный многогранник отличается от полуправильного тем, что его грани не только правильные, но и одинаковые. У полуправильного тела, например, могут соседствовать треугольники и квадраты. Требование одинакового расположения вокруг каждой вершины сохраняет регулярность, хотя набор граней становится разнообразнее.

Конфигурацию читают по кругу вокруг вершины: каждое число показывает число сторон очередной грани. Поэтому запись 3.4.3.4 означает не просто наличие двух треугольников и двух квадратов, а их чередование. Если поменять порядок, например получить 3.3.4.4, окружение вершины будет уже другим.

Многие полуправильные тела получают усечением правильных многогранников. При усечении вершины срезают плоскостью, а бывшие рёбра превращаются в новые грани; исходные грани при этом становятся многоугольниками с большим числом сторон. Например, при подходящем усечении октаэдра возникают треугольники и квадраты, а одинаковость исходных вершин обеспечивает одинаковое устройство новых вершин.

Звёздчатая грань возникает, когда стороны правильного многоугольника продолжают до новых пересечений, а не соединяют только соседние вершины. Получившийся контур имеет выступы и впадины, поэтому он не является выпуклым. У обычного правильного многоугольника стороны образуют простой выпуклый контур и не пересекаются.

Правильные звездчатые многогранники классифицируют сразу по двум признакам: их грани должны быть правильными звёздчатыми многоугольниками, а все вершины — иметь одинаковое устройство. К четырём таким телам относят малый звёздчатый додекаэдр, большой звёздчатый додекаэдр, большой додекаэдр и большой икосаэдр. Следовательно, одной звёздчатой формы граней недостаточно для правильности всего многогранника.

Полуправильные и правильные звездчатые многогранники

Таблица помогает быстро проверить определение: сначала определите, какие многоугольники являются гранями, затем сравните вершины. Если грани правильные, но конфигурации вершин различаются, многогранник не относится к полуправильным. Для звездчатых тел дополнительно проверяют, что грани именно звёздчатые и все вершины устроены одинаково.

Разбор задач

Задача 1

У кубооктаэдра в каждой вершине поочерёдно сходятся треугольник, квадрат, треугольник и квадрат. Требуется записать конфигурацию вершины. Числа в записи должны передать не названия фигур, а количество сторон каждой грани.

1. У треугольника 3 стороны, поэтому первой ставим цифру 3.
2. У следующего квадрата 4 стороны, записываем 4.
3. После него снова идёт треугольник, а затем квадрат: добавляем 3 и 4.
4. Соединяем числа точками в порядке обхода: 3.4.3.4.

Ответ: конфигурация вершины кубооктаэдра — 3.4.3.4. Поворот начала обхода не меняет эту запись по смыслу, поскольку последовательность повторяется циклически.

Задача 2

Кубооктаэдр имеет 8 треугольных и 6 квадратных граней. Нужно найти число рёбер и вершин. При подсчёте рёбер каждое ребро нужно учитывать дважды, потому что оно принадлежит двум граням.

1. Считаем стороны всех граней: 8 · 3 + 6 · 4 = 24 + 24 = 48.
2. Делим результат на два: E = 48 : 2 = 24.
3. Число граней равно F = 8 + 6 = 14.
4. Используем формулу Эйлера V − E + F = 2: V = 2 + 24 − 14 = 12.

Ответ: у кубооктаэдра 24 ребра и 12 вершин. Проверка показывает, что в каждой вершине сходятся четыре грани, поэтому число пар «вершина — грань» равно 12 · 4 = 48 и совпадает с подсчётом по граням.

Задача 3

У многогранника грани являются правильными звёздчатыми многоугольниками, а вершины устроены одинаково. Нужно определить, к какому виду из темы он относится. Сопоставим данные признаки с определениями.

1. Грани не являются обычными выпуклыми многоугольниками, поэтому многогранник не относится к полуправильным выпуклым телам.
2. Каждая грань правильная и звёздчатая, что соответствует первому признаку правильного звездчатого многогранника.
3. Одинаковое устройство всех вершин выполняет второй необходимый признак.

Ответ: это правильный звездчатый многогранник. Один только факт наличия звёздчатых граней такого вывода не даёт: нужно также проверить их правильность и одинаковость вершин.

Типичные ошибки

Считать полуправильным любой многогранник с правильными гранями — ошибка. Грани могут быть правильными, но вершины при этом устроены по-разному. Проверьте циклический порядок граней около каждой вершины.

Иногда сравнивают только набор граней и не учитывают порядок их чередования. Наличие двух треугольников и двух квадратов ещё не означает конфигурацию 3.4.3.4. Обойдите вершину по кругу и запишите грани последовательно.

При подсчёте рёбер часто складывают стороны всех граней и получают завышенный результат. Каждое ребро принадлежит двум граням, поэтому сумму нужно разделить на два. Если деление не выполнено, проверьте, не посчитали ли вы каждое ребро дважды.

Нельзя считать правильным звездчатым любой многогранник со звёздчатыми гранями. У него должны быть правильные звездчатые многоугольники и одинаковое устройство всех вершин. Проверьте оба признака отдельно, а затем сделайте вывод.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны виды правильных многоугольников и правильных многогранников. Также необходимо различать грань, ребро и вершину, поскольку конфигурация описывает именно соседство граней около вершины. Эти понятия позволяют читать обозначения без рисунка.

Формула Эйлера V − E + F = 2 связывает число вершин, рёбер и граней выпуклого многогранника. Подсчёт сторон граней помогает найти рёбра, если помнить, что каждое ребро принадлежит двум граням. Такой приём разобран на примере кубооктаэдра.

Усечение связывает правильные и полуправильные тела. Срезание вершин меняет исходные грани и создаёт новые, но симметрия исходного многогранника помогает сохранить одинаковое устройство получившихся вершин.

Что запомнить

• У полуправильного многогранника грани — правильные многоугольники.
• У всех его вершин одинаковая конфигурация.
• Конфигурация вершины показывает типы граней и порядок их расположения.
• Звёздчатый многоугольник образуется продолжением сторон правильного многоугольника.
• Правильные звездчатые многогранники имеют правильные звёздчатые грани и одинаковое устройство вершин.
• Существует четыре правильных звездчатых многогранника.