"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (углублённый уровень)", Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И.
Объём тела можно найти, если известно, как меняется площадь его поперечного сечения вдоль выбранной оси. Тело мысленно разбивают на тонкие слои: каждый слой похож на призму, а его объём приблизительно равен площади сечения, умноженной на толщину. При бесконечном измельчении слоёв сумма переходит в определённый интеграл. Поэтому основная формула метода — V = ∫ₐᵇ S(x) dx. Она подходит и для тел с произвольной формой сечений, и для тел вращения, у которых сечения часто являются кругами или кольцами.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Поперечное сечение тела — фигура, полученная при пересечении тела плоскостью, перпендикулярной выбранной оси. Например, если рассекать тело плоскостями, перпендикулярными Ox, получатся плоские фигуры, расположенные вдоль этой оси. Их форма может меняться от одного сечения к другому. Такие фигуры позволяют описать строение тела без необходимости сразу находить его объём целиком.
Площадь поперечного сечения S(x) — площадь сечения плоскостью, перпендикулярной выбранной оси и проходящей через точку с координатой x. Значение S(x) показывает, насколько широк слой тела в данном месте. Для вычисления объёма нужно знать, как эта площадь меняется вдоль тела. Поэтому S(x) рассматривают как функцию координаты.
Объём тела — величина, которую можно найти как предел сумм объёмов тонких слоёв. Каждый слой имеет небольшую толщину и почти одинаковую площадь сечения по всей своей длине. Чем тоньше слои, тем точнее сумма приближает объём всего тела. Это представление связывает геометрическую величину с пределом.
Представление объёма интегралом — вычисление объёма по площадям поперечных сечений с помощью формулы V = ∫ₐᵇ S(x) dx. Здесь a и b задают координаты крайних сечений, а S(x) — площадь промежуточного сечения. Интеграл складывает вклады всех тонких слоёв от начала тела до конца. Так можно работать с телами, для которых не подходит готовая формула объёма.
Сначала тело рассматривают между плоскостями x = a и x = b и выбирают направление, вдоль которого его удобно рассекать. Выбор оси важен: от него зависит, насколько просто выразить площадь сечения через координату. Например, для тела вращения вокруг Ox естественно брать плоскости, перпендикулярные этой оси. Тогда крайние значения x сразу задают границы будущего интеграла.
Затем отрезок [a; b] разбивают на небольшие части и каждому короткому отрезку сопоставляют тонкий слой тела. Если толщина слоя равна Δx, а площадь сечения внутри него меняется мало, слой похож на призму с основанием S(x) и высотой Δx. Поэтому его объём приближённо равен S(x)Δx. Чем уже отрезок, тем меньше различие между настоящим слоем и такой призмой.
Складывая приближённые объёмы слоёв, получают сумму вида S(x₁)Δx₁ + S(x₂)Δx₂ + … . Это интегральная сумма: каждое слагаемое учитывает объём небольшой части тела. Если увеличить число частей, одновременно уменьшая их толщину, приближение становится точнее. В пределе эта сумма и определяет точный объём.
Переход к пределу даёт определённый интеграл от площади сечения, поэтому V = ∫ₐᵇ S(x) dx. Формула работает, если площадь S(x) задана и непрерывна на отрезке [a; b]. Непрерывность означает, что площадь меняется без скачков, так что слои можно последовательно суммировать. Пределы интегрирования должны охватывать всё тело вдоль выбранной оси, иначе часть объёма останется неучтённой.
Для тела вращения сечения часто имеют форму круга. Если график y = f(x) вращается вокруг Ox, то на координате x радиус круга равен f(x), а его площадь — πf(x)². Если вращается область между двумя графиками, сечение может быть кольцом: его площадь равна πR(x)² − πr(x)², где R — внешний, а r — внутренний радиус. Такая запись позволяет подставить площадь в общую формулу и найти объём интегрированием.
Таблица помогает сначала определить форму сечения, затем записать его площадь, а после — подставить её в интеграл. Для кольца обозначения f(x) и g(x) здесь означают внешний и внутренний радиусы соответственно. В каждом случае интегрирование ведётся от координаты первого сечения до координаты последнего.
| Ситуация | Площадь сечения S(x) | Формула объёма |
|---|---|---|
| Произвольное тело с известными площадями сечений | Задана как S(x) | V = ∫ₐᵇ S(x) dx |
| Площадь сечения перпендикулярна оси Ox | S(x) — площадь сечения при координате x | V = ∫ₐᵇ S(x) dx |
| Тело вращения вокруг оси Ox, радиус сечения f(x) | πf(x)² | V = ∫ₐᵇ πf(x)² dx |
| Тело вращения вокруг оси Ox с внутренним радиусом g(x) и внешним f(x) | π(f(x)² − g(x)²) | V = ∫ₐᵇ π(f(x)² − g(x)²) dx |
Задача 1. Тело расположено между x = 0 и x = 3; площадь сечения перпендикулярно оси Ox равна S(x) = 2x + 1. Найдём объём. Здесь площадь уже дана, поэтому остаётся просуммировать её значения по всему промежутку интегралом.
Ответ: 12 кубических единиц. Площадь сечения положительна на всём отрезке, поэтому объём также получился положительным. Границы интеграла совпадают с крайними координатами тела.
Задача 2. Фигура под графиком y = √x на отрезке [0; 4] вращается вокруг оси Ox. При вращении точка графика на каждом x задаёт радиус круглого сечения, поэтому сначала найдём площадь круга, а потом проинтегрируем её.
Ответ: 8π кубических единиц. Квадрат корня упрощается до x, что делает интеграл простым. Пределы 0 и 4 взяты из заданного отрезка, на котором расположена фигура.
Задача 3. Область между графиками y = 2 и y = x на отрезке [0; 2] вращается вокруг Ox. На этом отрезке линия y = 2 дальше от оси вращения, чем y = x, поэтому круг с радиусом 2 будет внешним, а второй круг образует отверстие. Значит, нужно интегрировать площадь кольца.
Ответ: 16π/3 кубических единиц. Проверка радиусов на отрезке подтверждает, что внешний радиус не меньше внутреннего. Если бы мы не вычли внутренний круг, в объём ошибочно попала бы область отверстия.
Интегрируют длину отрезка или радиус вместо площади сечения. Так происходит, когда в формулу подставляют не ту величину, которую нужно суммировать для получения объёма. Подынтегральная функция должна описывать площадь слоя, а не его отдельный размер. Проверь себя: размерность S(x)Δx должна быть объёмом — например, см² · см = см³.
Забывают умножить площадь круглого сечения на π. Ошибку часто допускают, записывая квадрат радиуса как площадь круга. Но круг имеет площадь πr², а не просто r². Перед интегрированием проверь, что в формуле площади круга присутствует множитель π.
При вращении области между графиками используют только внешний радиус. В таком случае учитывается весь круг, хотя внутренняя часть сечения не принадлежит телу. Нужно вычесть площадь внутреннего круга: S(x) = π(R² − r²). Проверить себя можно по рисунку или описанию области: если внутри есть отверстие, площадь должна быть меньше площади внешнего круга.
Берут неверные пределы интегрирования. Иногда пределы выбирают по значениям радиуса или по удобству вычислений, а не по границам тела вдоль оси. Тогда интеграл охватывает не всё тело или захватывает лишний участок. Сверь пределы с координатами крайних сечений и заданным промежутком.
Метод опирается на определённый интеграл как предел интегральных сумм, поэтому для его применения нужно уметь вычислять такие интегралы. Также важно находить площади плоских фигур: именно площадь сечения становится подынтегральной функцией. Когда сечения круговые или кольцевые, дополнительно используются формулы площади круга. Эти знания соединяются при вычислении объёмов тел вращения и тел, заданных площадями поперечных сечений.
Почему объём можно выразить через площади поперечных сечений?
Тело можно мысленно разделить на тонкие слои, каждый из которых имеет площадь основания S(x) и малую толщину. Объём слоя приблизительно равен произведению этих величин, а сумма таких объёмов при измельчении разбиения становится определённым интегралом.
Как выбрать направление, вдоль которого рассекать тело?
Выбирай ось так, чтобы границы тела вдоль неё задавались понятным отрезком, а площади сечений было удобно находить. Для тела вращения вокруг Ox обычно используют сечения плоскостями, перпендикулярными Ox.
Что именно обозначает функция S(x)?
S(x) — площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной выбранной оси и проходящей через координату x. Она показывает, как меняется площадь слоёв вдоль тела, и именно её интегрируют для вычисления объёма.
Как определить площадь сечения тела вращения?
Если сечение — круг радиуса r(x), его площадь равна πr(x)². Если в сечении есть отверстие, получается кольцо: из площади круга с внешним радиусом вычитают площадь круга с внутренним радиусом.
Почему при сечениях-кольцах нужно вычитать площади кругов?
Внутренний круг не входит в тело: это отверстие в кольцевом сечении. Поэтому площадь части, которая действительно принадлежит телу, равна площади внешнего круга минус площадь внутреннего.
§29. Представление объема интегралом
