32.4. Площадь части сферы

Определения и обозначения

Сферическая зона — часть сферы, заключённая между двумя параллельными плоскостями. Её высота h — расстояние между этими плоскостями. Это обозначение нужно, чтобы применять общую формулу площади к участку поверхности.

Сферический пояс — часть сферической поверхности, соответствующая зоне и ограниченная двумя параллельными окружностями. Сам пояс понимают как поверхность, а не как объём тела. В задачах его площадь находят так же, как площадь сферической зоны.

Сферическая шапочка — часть сферы, отсечённая одной плоскостью. Её высота h — расстояние от плоскости сечения до вершины шапочки; если радиус граничной окружности равен r, то для обычной шапочки h = R − √(R² − r²). Это позволяет найти площадь шапочки даже тогда, когда её высота прямо не дана.

Площадь части сферы — площадь участка сферической поверхности. Она измеряется в квадратных единицах и не совпадает с площадью тела, ограниченного этим участком. Например, площадь шапочки не включает площадь её плоского основания.

Как это устроено

Площадь зоны не зависит от того, где именно она расположена на сфере. Если радиус R и высота h сохраняются, участок можно мысленно переместить вдоль поверхности, не меняя его площади. Причина выражается в формуле: в неё входят только R и h, а положение ограничивающих плоскостей отдельно не указано.

Формулу S = 2πRh получают сопоставлением зоны с боковой поверхностью цилиндра. У цилиндра того же радиуса R и высоты h боковая площадь равна произведению длины окружности основания 2πR на высоту h. При развёртке цилиндра получается прямоугольник, а сферическую зону можно рассматривать как поверхность с такой же площадью, поэтому S = 2πRh.

Шапочка является частным случаем зоны. Одной её ограничивающей плоскостью служит плоскость сечения, а другой можно считать плоскость, проходящую через вершину сферы; расстояние между ними равно высоте шапочки h. Поэтому для шапочки сохраняется та же формула: S = 2πRh.

Полусфера соответствует зоне высоты R: плоскость через центр отделяет одну половину сферы от другой. Тогда S = 2πR · R = 2πR². Для всей сферы высота условной зоны равна диаметру 2R, поэтому S = 2πR · 2R = 4πR².

Если высота шапочки не дана, её находят из прямоугольного треугольника. В нём гипотенуза равна R, один катет — расстояние от центра до плоскости сечения √(R² − r²), а высота обычной шапочки равна разности R − √(R² − r²). После этого найденное значение подставляют в S = 2πRh.

Площади частей сферы

Сначала определите, какая часть сферы дана в условии, затем выпишите её R и h. Если высота неизвестна, выразите её через другие данные и только после этого выбирайте формулу площади.

Разбор задач

Задача 1

Радиус сферы равен 5 см, высота сферической зоны — 3 см. Нужно найти площадь зоны. Здесь обе величины уже известны, поэтому дополнительное построение не требуется.

1. Используем формулу S = 2πRh.
2. Подставляем R = 5 см и h = 3 см: S = 2π · 5 · 3 = 30π.
3. Проверяем единицы: произведение двух длин даёт квадратные сантиметры.

Ответ: 30π см².

Задача 2

Радиус сферы равен 13 см, радиус окружности, ограничивающей шапочку, равен 5 см. Сначала нужно восстановить высоту шапочки, потому что именно она входит в формулу площади.

1. Находим расстояние от центра сферы до плоскости сечения: √(13² − 5²) = √144 = 12 см.
2. Высота обычной шапочки равна h = 13 − 12 = 1 см.
3. Вычисляем площадь: S = 2π · 13 · 1 = 26π см².

Ответ: 26π см².

Задача 3

Сферический пояс на сфере радиуса 10 см имеет площадь 120π см². Требуется найти его высоту и расстояние между граничными плоскостями. Эти величины совпадают по определению высоты зоны.

1. Записываем 120π = 2π · 10 · h.
2. Сокращаем π и получаем 120 = 20h, откуда h = 6 см.
3. Расстояние между параллельными плоскостями равно высоте пояса, поэтому оно также равно 6 см.

Ответ: высота пояса — 6 см; расстояние между плоскостями — 6 см.

Типичные ошибки

В формулу S = 2πRh иногда подставляют радиус граничной окружности вместо R. Это происходит из-за того, что окружность видна на чертеже, но в формуле используется радиус всей сферы. Проверьте, что R — расстояние от центра сферы до её поверхности.

Высоту зоны путают с радиусом ограничивающей окружности. Высота измеряется между параллельными плоскостями, а радиус окружности лежит в одной плоскости сечения. Для самопроверки назовите, какие именно точки соединяет каждый отрезок.

Иногда считают, что площадь зависит от ширины пояса на рисунке или от его положения на сфере. На самом деле при одинаковых R и h площади зон одинаковы, даже если одна из них расположена ближе к полюсу. Сверьте решение с формулой: положение в ней не участвует.

Ещё одна ошибка — считать высоту всей сферической зоны равной R. Для всей сферы расстояние между крайними условными плоскостями равно диаметру 2R, поэтому S = 2πR · 2R = 4πR². Если получено 2πR², найдена площадь полусферы.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны площадь круга, формула площади боковой поверхности цилиндра и свойства параллельных плоскостей. Площадь круга помогает работать с окружностями сечения, а цилиндр даёт идею вывода формулы зоны.

Формулы площади частей сферы применяются при вычислении поверхности сложных тел. Если тело составлено из сферических и плоских частей, площади отдельных участков находят отдельно, а затем складывают, не включая внутренние поверхности.

Что запомнить

• Площадь сферической зоны равна 2πRh.
• R — радиус сферы, h — высота зоны.
• Площадь зоны не зависит от её положения на сфере.
• Площадь полусферы равна 2πR².
• Площадь всей сферы равна 4πR².
• Площадь части сферы измеряется в квадратных единицах.