V. Другие геометрии

Определения и обозначения

Евклидова геометрия — геометрия, в которой через точку вне данной прямой проходит ровно одна прямая, не пересекающая её. Это привычная геометрия плоскости, где сумма углов треугольника равна 180°. Такое определение задаёт систему, с которой удобно сравнивать другие геометрии.

Аксиома о параллельных — исходное утверждение о том, сколько прямых через точку вне данной прямой не пересекают её. Аксиомы принимают без доказательства и используют для построения теории. От выбора этой аксиомы зависит, какие теоремы о фигурах будут верны.

Геометрия Лобачевского — геометрия, в которой через точку вне прямой проходят более одной прямой, не пересекающей данную. В ней сохраняются многие базовые построения, но свойства фигур отличаются от евклидовых. Это определение помогает не смешивать изменение одной аксиомы с отказом от всей геометрии.

Сферическая геометрия — геометрия фигур на сфере, где прямыми считают большие окружности. Большая окружность получается, если плоскость проходит через центр сферы. Это определение нужно, чтобы правильно понимать, какие линии здесь играют роль прямых.

Как это устроено

Аксиома о параллельных выделяет евклидову геометрию, потому что задаёт особое правило для прямой и точки вне неё. Другие аксиомы описывают базовые отношения и построения, но именно правило о параллельных определяет, как устроено продолжение прямых на плоскости. Из него выводят знакомые свойства, в частности равенство суммы углов треугольника 180°. Поэтому изменение этой аксиомы создаёт другую систему следствий, а не просто меняет название геометрии.

Чтобы получить геометрию Лобачевского, вместо единственности параллельной принимают, что через внешнюю точку проходит более одной прямой, не пересекающей данную. Остальные базовые положения не приходится отменять: меняется исходное правило, а построения и доказательства ведутся уже с учётом него. Причина иных результатов именно в том, что теоремы выводятся из аксиом. В частности, сумма углов треугольника становится меньше 180°.

На плоскости прямые в евклидовой геометрии могут быть параллельными, то есть не иметь общей точки. На сфере роль прямых выполняют большие окружности, и любые две большие окружности пересекаются в двух противоположных точках. Например, экватор и меридиан пересекаются на полюсах. Поэтому на сфере не удаётся провести параллельную большой окружности в обычном смысле.

Разные аксиомы приводят к разной сумме углов треугольника и разному числу параллельных. В евклидовой геометрии сумма равна 180°, а через внешнюю точку проходит одна параллельная. У треугольника Лобачевского сумма меньше 180°, а число не пересекающих данную прямых больше единицы. У сферического треугольника сумма больше 180°; большие окружности, играющие роль прямых, пересекаются. Эти различия связаны не с ошибкой измерения, а с геометрической системой, в которой рассматривают фигуру.

Неевклидовы геометрии — не ошибочные построения, потому что их правила можно описать математически и последовательно выводить из них результаты. Модели таких геометрий строят внутри других теорий: точки и линии модели трактуются так, чтобы выбранные аксиомы выполнялись. Если бы из аксиом системы удавалось вывести противоречие, это поставило бы под сомнение её непротиворечивость. Такие геометрии важны и сами по себе, и как язык для описания пространства в математике и физике.

Сравнение евклидовой, гиперболической и сферической геометрий

Сначала смотрите, где расположена фигура и что в этой системе считается прямой. Затем сравнивайте число параллельных и сумму углов треугольника. Так таблица помогает связать исходные правила геометрии с их следствиями.

Разбор задач

Задача 1. Через точку вне прямой проведите прямые, не пересекающие данную, в евклидовой геометрии и геометрии Лобачевского. Сравните их число.

1. В евклидовой геометрии используем аксиому о параллельных: через точку вне прямой проходит ровно одна не пересекающая её прямая.
2. В геометрии Лобачевского действует другая аксиома: через ту же внешнюю точку проходят более одной такой прямой.
3. Значит, при сравнении нельзя переносить евклидову единственность в геометрию Лобачевского. В ней таких прямых бесконечно много.

Ответ: в евклидовой геометрии — одна, в геометрии Лобачевского — более одной.

Задача 2. На сфере постройте треугольник из дуг больших окружностей и определите, может ли сумма его углов быть равна 180°.

1. Возьмём экватор и два меридиана, расположенных под прямым углом друг к другу.
2. Ограничим треугольник двумя дугами меридианов от северного полюса до экватора и дугой экватора между ними. Все три стороны являются дугами больших окружностей.
3. В вершинах получаются прямые углы: меридианы перпендикулярны экватору, а меридианы встречаются у полюса под прямым углом. Сумма углов равна 90° + 90° + 90° = 270°.
4. Для любого невырожденного сферического треугольника сумма углов больше 180°, поэтому равной 180° она быть не может.

Ответ: нет; у построенного треугольника сумма углов равна 270°.

Задача 3. В треугольнике геометрии Лобачевского два угла равны 50° и 60°. Какое ограничение можно установить для третьего угла?

1. Обозначим третий угол через x.
2. Для треугольника Лобачевского сумма углов меньше 180°, поэтому 50° + 60° + x < 180°.
3. Сложим известные углы: 110° + x < 180°. Вычитая 110°, получаем x < 70°.
4. Угол треугольника положителен, поэтому дополнительно x > 0°.

Ответ: третий угол больше 0° и меньше 70°.

Типичные ошибки

• Считать, что геометрия Лобачевского нарушает все аксиомы Евклида. Так думают, потому что необычные теоремы воспринимают как отказ от всей привычной геометрии. На деле меняется именно аксиома о параллельных; проверяйте, какое исходное правило заменено.
• Утверждать, что в геометрии Лобачевского через внешнюю точку проходит ровно одна параллельная. Это правило по привычке переносят из евклидовой геометрии. Сверьте число с принятой аксиомой: прямых, не пересекающих данную, больше одной.
• Называть любую окружность на сфере прямой. Обычная окружность может быть сечением сферы плоскостью, не проходящей через центр. Проверяйте определение: сферические прямые — только большие окружности.
• Переносить сумму углов плоского треугольника на сферический или гиперболический. Это происходит, когда забывают, в какой геометрии рассматривают фигуру. Перед вычислением уточните систему: сумма может быть меньше или больше 180°.

Связь с другими темами

Для изучения темы нужны определения прямой и параллельных, понятие аксиомы и свойства углов треугольника в евклидовой геометрии. Она связана с аксиоматическим построением: выбор исходных положений влияет на теоремы, которые можно доказать. Сравнение геометрий помогает увидеть эту связь на конкретных примерах. Идеи неевклидовой геометрии применяются для описания пространства в математике и физике.

Что запомнить

• Евклидова геометрия использует аксиому о единственной параллельной.
• В геометрии Лобачевского через внешнюю точку можно провести более одной прямой, не пересекающей данную.
• Сумма углов треугольника Лобачевского меньше 180°.
• На сфере прямыми считают большие окружности.
• Большие окружности пересекаются, поэтому в сферической геометрии нет параллельных в обычном смысле.
• Сумма углов сферического треугольника больше 180°.
• Неевклидова геометрия — не ошибка, а система с иными исходными аксиомами.