З Задачи к главе VI

Определения и обозначения

Объём тела — величина, характеризующая часть пространства, занимаемую телом. Равенство объёмов означает, что тела занимают одинаковую часть пространства, даже если их форма различается. Это позволяет сравнивать фигуры и вычислять объём сложного тела через объёмы более простых частей.

Единицей объёма служит объём куба с ребром, равным единице длины. Если ребро измеряется в сантиметрах, объём выражается в кубических сантиметрах: 1 см³ — это объём куба со стороной 1 см. При переходе от единиц длины к единицам объёма коэффициент возводится в куб: 1 м³ = 1 000 000 см³.

Принцип Кавальери утверждает: если площади сечений двух тел плоскостями, параллельными одной выбранной плоскости, равны на каждой соответствующей высоте, то объёмы тел равны. Сечение — это фигура, полученная при пересечении тела плоскостью. Принцип помогает сравнивать объёмы, даже когда тела имеют разную форму.

Объём шара радиуса R вычисляется по формуле V = 4/3πR³. Радиус — отрезок от центра шара до любой точки его поверхности, поэтому диаметр равен 2R. Кубическая степень показывает, что при увеличении радиуса в несколько раз объём увеличивается в куб этого числа.

Как это устроено

Если два тела равны, одно можно совместить с другим движением в пространстве, не меняя их размеров и формы. Поэтому они занимают одинаковую часть пространства и имеют равные объёмы. Если же тело разрезать на части, каждая часть занимает свою область, а вместе области составляют исходное тело без наложений и промежутков. Отсюда следует аддитивность объёма: объём целого равен сумме объёмов частей.

У прямой призмы все сечения плоскостями, параллельными основанию, равны основанию. Если мысленно расположить такие сечения одно над другим по всей высоте, тело заполняет пространство так же, как стопка слоёв общей площадью Sосн и высотой h. Поэтому V = Sоснh. У наклонной призмы сечения на каждой высоте тоже равны основанию, хотя боковые рёбра наклонены; принцип Кавальери объясняет, почему формула остаётся той же.

Принцип Кавальери позволяет переносить известный объём на другое тело: достаточно сравнить площади его горизонтальных сечений с сечениями тела, объём которого уже известен. Например, цилиндр и призма с одинаковыми площадями оснований и высотами имеют равные площади параллельных основанию сечений на каждой высоте. Значит, по принципу Кавальери их объёмы равны. Этот подход лежит в основе формул и для тел, сечения которых меняются с высотой.

У пирамиды сечение, параллельное основанию, подобно основанию, но его линейные размеры уменьшаются по мере приближения к вершине. Поэтому площади слоёв не остаются постоянными, как у призмы, и объём пирамиды меньше произведения Sосн на h. Суммирование таких слоёв даёт V = ⅓Sоснh: при одинаковых основании и высоте пирамида занимает треть объёма призмы. У конуса сечения также подобны основанию, поэтому его объём равен одной трети объёма цилиндра с теми же радиусом основания и высотой: V = ⅓πR²h.

Объём шара зависит только от радиуса и равен V = 4/3πR³. Кубическая зависимость согласуется с тем, что при увеличении всех линейных размеров в k раз объём возрастает в k³ раз. В задачах на комбинации тел формулу применяют вместе с формулами цилиндра и конуса: сначала находят каждый объём отдельно, затем складывают или вычитают их согласно условию. Например, часть цилиндра вне вписанного шара находят как разность объёмов цилиндра и шара.

Формулы объёмов основных тел

Сначала определите тип тела и найдите в таблице соответствующую формулу. Затем проверьте, какие величины известны, и при необходимости вычислите площадь основания или радиус. Высоту берите именно перпендикулярную, а все длины перед подстановкой выразите в одинаковых единицах.

Разбор задач

Задача 1. Найдём объём прямой призмы, если площадь основания равна 24 см², а высота — 5 см. Для призмы нужна формула V = Sоснh, поскольку каждый слой призмы имеет площадь основания. Единицы согласованы: произведение см² на см даст см³.

1. Запишем формулу: V = Sоснh.
2. Подставим данные: V = 24 · 5 = 120.
3. Укажем единицу объёма: V = 120 см³.

Ответ: 120 см³. Проверка единиц подтверждает, что получен именно объём, а не площадь или длина.

Задача 2. Площадь основания пирамиды равна 36 см², высота — 8 см. Здесь высота — перпендикуляр от вершины к плоскости основания, а не наклонное боковое ребро. Объём пирамиды составляет треть произведения площади основания на высоту.

1. Запишем формулу: V = ⅓Sоснh.
2. Подставим значения: V = ⅓ · 36 · 8.
3. Сначала вычислим произведение 36 · 8 = 288, затем разделим на 3: V = 96 см³.

Ответ: 96 см³. Множитель ⅓ принципиален: без него получилось бы значение объёма призмы с теми же основанием и высотой.

Задача 3. Шар радиуса 6 см вписан в цилиндр; требуется найти объём части цилиндра вне шара. Вписанный шар касается боковой поверхности цилиндра и обоих оснований, поэтому радиус цилиндра равен 6 см, а высота — диаметру шара, то есть 12 см. Искомая часть — разность объёмов цилиндра и шара.

1. Вычислим объём цилиндра: Vц = πR²h = π · 6² · 12 = 432π см³.
2. Вычислим объём шара: Vш = 4/3πR³ = 4/3 · π · 6³ = 288π см³.
3. Вычтем объём шара из объёма цилиндра: V = 432π − 288π = 144π см³.

Ответ: 144π см³. Цилиндр содержит шар, поэтому разность положительна; радиус и высота были выражены в сантиметрах, а итог — в кубических сантиметрах.

Типичные ошибки

В формулах пирамиды и конуса иногда подставляют апофему — наклонный отрезок на боковой грани — вместо высоты. Это происходит потому, что апофема может выглядеть как наиболее заметный отрезок на рисунке, но она не задаёт перпендикулярное расстояние до основания. Проверьте прямой угол: в формуле нужна длина перпендикуляра от вершины к плоскости основания.

Вычисляя объём пирамиды или конуса, легко забыть множитель ⅓ и получить результат как для призмы или цилиндра. Причина — сходство формул: в обеих используются площадь основания и высота. Перед вычислениями запишите формулу целиком, а после проверьте, присутствует ли в ней треть.

Если в условии дан диаметр, его иногда сразу подставляют вместо радиуса в формулу шара, цилиндра или конуса. Так происходит из-за того, что обе величины описывают размер круга, но радиус вдвое меньше диаметра. Перед подстановкой обозначьте R = d/2 и проверьте, что используете именно радиус.

Объёмы складывают или вычитают, не приведя их к одинаковым единицам. Например, сантиметры кубические и метры кубические нельзя непосредственно вычитать, поскольку их числовые значения относятся к разным единицам. Перед действием переведите все объёмы в одну единицу и убедитесь, что в ответе стоят кубические, а не квадратные единицы.

Связь с другими темами

Для вычисления объёмов нужны формулы площадей плоских фигур: например, площадь круга используется для цилиндра и конуса, а площадь многоугольника — для призмы и пирамиды. Теорема Пифагора помогает находить высоты, радиусы и другие отрезки в пространственных конфигурациях. Важно сначала установить, какие длины действительно перпендикулярны основанию, а затем подставлять их в формулу.

Формулы объёмов нужны в задачах о комбинациях тел и сечениях, а также в практических расчётах вместимости. Принцип Кавальери помогает сравнивать тела, сечения которых можно сопоставить на каждой высоте. В задачах на составные фигуры объём часто находят сложением частей или вычитанием объёма внутреннего тела.

Что запомнить

• Объём призмы равен произведению площади основания на высоту.
• Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.
• Объёмы цилиндра и конуса вычисляются по площади основания и высоте.
• Объём шара равен 4/3πR³.
• При разбиении тела объём всего тела равен сумме объёмов его частей.
• В формулах объёма единицы длины должны быть согласованы, а ответ выражается в кубических единицах.