§ 17. Выпуклые фигуры

Определения и обозначения

Фигура называется выпуклой, если вместе с любыми двумя своими точками она содержит и весь отрезок, соединяющий эти точки. Иначе говоря, выберем произвольные точки A и B внутри фигуры: каждая точка отрезка AB тоже должна ей принадлежать. Это определение нужно, чтобы точно описывать форму, а не полагаться на впечатление от рисунка.

Фигура называется невыпуклой, если в ней найдутся две точки, соединяющий отрезок которых не целиком принадлежит фигуре. Достаточно, чтобы хотя бы часть отрезка оказалась снаружи. Такое определение позволяет доказать невыпуклость конкретным примером, не проверяя все возможные пары.

Выпуклый многоугольник — это многоугольник, который является выпуклой фигурой. Его стороны ограничивают область без внутренних выемок: отрезок между любыми двумя точками многоугольника не выходит за границу. Это понятие помогает отличать многоугольники с «впадинами» от тех, у которых граница охватывает выпуклую область.

Как это устроено

Чтобы проверить фигуру по определению, мысленно выбирают две её точки и проводят между ними отрезок. Условие должно выполняться не для одной удобной пары, а для любых двух точек, поэтому нужно представить, как отрезки проходят через разные части фигуры. Если у фигуры есть выемка, отрезок через неё может выйти наружу. Для строгого доказательства выпуклости удобно рассуждать о произвольных точках, а не перебирать точки по одной.

Для доказательства невыпуклости, наоборот, не нужно проверять все пары. Условие выпуклости утверждает, что подходят любые две точки, поэтому достаточно найти одну пару, которая ему противоречит. Выберите точки так, чтобы соединяющий их отрезок пересёк выемку или оказался вне фигуры. Если на отрезке есть хотя бы одна точка, не принадлежащая фигуре, нужный контрпример найден.

Отрезок выпуклый, потому что любые две его точки лежат на одной линии, а все точки между ними тоже принадлежат исходному отрезку. Круг выпуклый: если взять любые две его точки, прямая между ними проходит через круг, и часть этой прямой между выбранными точками остаётся внутри круга. Фигура с выемкой может быть невыпуклой, поскольку отрезок между точками по разные стороны выемки способен пройти по области, которая фигуре не принадлежит. Поэтому решает не внешний вид сам по себе, а поведение всех соединяющих отрезков.

Пересечение нескольких выпуклых фигур — это область, принадлежащая каждой из них одновременно. Возьмём в пересечении две точки: обе точки находятся во всех исходных фигурах. Так как каждая из этих фигур выпукла, отрезок между выбранными точками принадлежит каждой из них, а значит, целиком принадлежит пересечению. Это рассуждение показывает, почему пересечение сохраняет выпуклость.

У выпуклого многоугольника нет внутренних выемок: если выбрать любые две его точки, соединяющий отрезок останется в области многоугольника. На рисунке выемка часто заметна по тому, что часть многоугольника «западает» внутрь, но одного зрительного впечатления недостаточно. Проверять нужно само условие с отрезками, причём точки могут находиться не только в вершинах, но и на сторонах или внутри области. Так форма многоугольника связывается с точным определением выпуклости.

Признаки выпуклости фигур

Пользуйтесь таблицей как памяткой: сначала определите, какие точки нужно рассматривать, затем проверьте весь соединяющий их отрезок. Для доказательства выпуклости аргумент должен относиться к произвольной паре точек. Чтобы опровергнуть выпуклость, достаточно привести конкретную пару-контрпример.

Разбор задач

Докажите, что отрезок является выпуклой фигурой.

1. Пусть дан отрезок AB и выбраны любые две его точки C и D. Слово «любые» означает, что доказательство не должно зависеть от особого положения этих точек.
2. Точки C и D лежат на одном исходном отрезке AB. Все точки между C и D также лежат на AB, потому что C и D находятся на одной прямой и заключены между её концами A и B.
3. Следовательно, весь отрезок CD принадлежит отрезку AB. Мы проверили условие для произвольных точек C и D, значит, исходный отрезок выпуклый.

Ответ: отрезок является выпуклой фигурой.

Определите, является ли круг выпуклой фигурой, и обоснуйте ответ.

1. Выберем произвольные точки P и Q круга. Чтобы применить определение, нужно показать, что подходит не только какая-то одна пара, а любые две точки.
2. Соединим P и Q отрезком. Прямая, проходящая через эти точки, пересекает круг по отрезку, а выбранные точки принадлежат кругу, поэтому часть прямой между ними целиком лежит в круге.
3. Значит, отрезок PQ принадлежит кругу. Поскольку точки P и Q выбирались произвольно, условие выпуклости выполняется для всех пар.

Ответ: круг является выпуклой фигурой.

Докажите, что пересечение двух выпуклых фигур выпукло.

1. Пусть даны выпуклые фигуры F и G. Возьмём любые две точки X и Y их пересечения; это означает, что каждая из точек принадлежит и F, и G.
2. Поскольку F выпукла, весь отрезок XY лежит в F. Поскольку G тоже выпукла, тот же отрезок XY целиком лежит и в G.
3. Значит, каждая точка отрезка XY принадлежит одновременно F и G, то есть принадлежит их пересечению. Условие выполнено для произвольных X и Y.

Ответ: пересечение двух выпуклых фигур является выпуклой фигурой.

Типичные ошибки

Ошибка — считать фигуру выпуклой только потому, что она выглядит цельной или не имеет отверстий. Так рассуждают, опираясь на общий вид, но выпуклость определяется отрезками между точками, а не цельностью границы. Проверьте, не найдутся ли две точки, для которых часть соединяющего отрезка выйдет наружу.

Ошибка — перебирать все пары точек, чтобы доказать невыпуклость. Это невозможно сделать на практике, поскольку точек бесконечно много, и для опровержения достаточно одного контрпримера. Найдите пару по разные стороны выемки и проследите весь отрезок между ними.

Ошибка — проверять у многоугольника только отрезки между вершинами. Даже если выбранные отрезки не выходят за границу, определение требует проверить любые точки области, в том числе точки на сторонах и внутри многоугольника. Для самопроверки сформулируйте доказательство через произвольные две точки, а не только через вершины.

Ошибка — считать, что объединение выпуклых фигур обязательно выпукло. Объединение включает точки хотя бы одной фигуры, но соединяющий отрезок может пройти через промежуток, который не принадлежит ни одной из них; пример — два раздельных круга. Проверьте пары точек из разных частей объединения, а не только точки внутри каждой фигуры по отдельности.

Связь с другими темами

Для изучения выпуклости нужно понимать, что такое геометрическая фигура, точка и отрезок, а также уметь определять, принадлежит ли точка фигуре. Без этого нельзя точно сформулировать условие о том, что весь соединяющий отрезок остаётся внутри. Выпуклость пригодится при изучении многоугольников и их углов: она помогает описывать форму и обосновывать геометрические свойства. Это также полезный инструмент в доказательствах, где нужно анализировать расположение точек и отрезков.

Что запомнить

• Выпуклость проверяют по отрезку между любыми двумя точками фигуры.
• Для опровержения выпуклости достаточно найти одну неподходящую пару точек.
• Отрезок и круг являются выпуклыми фигурами.
• Пересечение выпуклых фигур выпукло.
• Объединение выпуклых фигур не обязательно выпукло.
• Выпуклый многоугольник не имеет внутренних выемок.