4.3. Изображение разных фигур в параллельной проекции

Определения и обозначения

Параллельное проектирование — способ получить изображение фигуры на плоскости с помощью параллельных проектирующих прямых. Каждую точку фигуры переносят по одной из таких прямых до плоскости. Этот способ позволяет представить пространственную фигуру плоским чертежом и сохранить некоторые связи между её элементами.

Направление проектирования — общее направление всех проектирующих прямых. Оно задаёт, куда мысленно перемещается каждая точка фигуры при построении изображения. Выбор направления важен: от него зависит, какие элементы окажутся видимыми и как изменится вид фигуры.

Изображение фигуры — множество проекций всех её точек на плоскость проектирования. Иными словами, это результат переноса всей фигуры, а не только отдельных вершин. Понятие нужно, чтобы отличать исходный пространственный объект от его плоского чертежа.

Проецирующая прямая — прямая, проходящая через изображаемую точку в направлении проектирования. Пересечение этой прямой с плоскостью проектирования и задаёт проекцию точки. Если прямая параллельна плоскости, пересечения может не быть, поэтому для обычного построения выбирают направление, при котором проекции определены.

Как это устроено

Чтобы спроецировать точку, через неё проводят прямую выбранного направления и отмечают пересечение этой прямой с плоскостью проектирования. Так каждой точке фигуры ставится в соответствие точка на плоскости. Для всей фигуры повторяют тот же приём, поэтому её изображение складывается из проекций всех точек, а не строится произвольно.

Прямая обычно изображается прямой, потому что проектирующие прямые вместе с исходной прямой образуют плоскость; след её пересечения с плоскостью изображения также является прямой. Исключение возникает, если исходная прямая параллельна направлению проектирования: все её точки тогда проектируются в одну точку. Параллельные исходные прямые лежат в параллельных плоскостях, заданных ими и направлением проектирования, поэтому их изображения, если они не вырождаются, тоже параллельны.

Проекция сохраняет принадлежность точки прямой: если точка лежит на прямой, её проекция лежит на изображении этой прямой. Сохраняются также точки пересечения и порядок точек на прямой. Если отрезок разделён точкой в отношении, то его проекция делится в том же отношении: перенос вдоль одной прямой меняет масштаб одинаково на всех её участках. Это свойство позволяет восстанавливать положение промежуточных точек без знания длины всего отрезка.

Длина может измениться, потому что при наклонном проектировании расстояние точки от плоскости изображения не передаётся как расстояние на самой плоскости. Угол тоже обычно меняется: направления двух пересекающихся прямых могут сжаться неодинаково, а значит, изменится угол между их образами. Поэтому пространственный прямоугольник не обязательно выглядит на чертеже прямоугольником, а длину ребра нельзя считать истинной только по его изображению.

Треугольник строят как изображение его вершин и соединяют полученные точки отрезками. Параллелограмм и трапецию удобно строить по вершинам и параллельным сторонам; для трапеции сохраняют параллельность только одной пары противоположных сторон. Окружность обычно становится эллипсом, поскольку её направления проецируются с разным сжатием. Для многогранника сначала изображают основание, затем вершины других граней и соединяют их рёбрами, отдельно отмечая видимые и скрытые линии.

Свойства изображений фигур при параллельном проектировании

Таблица помогает выбрать способ построения и заранее понять, какие свойства можно использовать. Если свойство не относится к сохраняемым, его нельзя считать верным только на основании внешнего вида чертежа. Для невырожденного изображения также проверяйте, что элементы фигуры не схлопнулись из-за выбранного направления.

Разбор задач

Отрезок и точка, делящая его в отношении 2:3

Нужно построить проекции концов A и B отрезка AB и точки M, для которой AM:MB = 2:3. Плоскость и направление проектирования заданы, поэтому через каждую из трёх точек можно провести проектирующую прямую. Требуется найти положение проекции M без измерения настоящих длин на чертеже.

1. Проведите через A и B прямые в заданном направлении и обозначьте точки пересечения с плоскостью A′ и B′. Отрезок A′B′ будет изображением AB, если AB не параллелен направлению проектирования.
2. Так как M лежит на AB, её проекция M′ лежит на A′B′. При параллельном проектировании отношение частей одного отрезка сохраняется, поэтому A′M′:M′B′ = 2:3.
3. Разделите A′B′ на пять равных частей и отметьте M′ после двух частей от A′. Если используете линейку, отмеряйте именно доли изображения, а не пытайтесь восстановить пространственные длины.
4. Проверьте, что M′ находится между A′ и B′ и делит отрезок в заданном отношении. Такая проверка выявляет ошибку, если отсчёт начали не от той вершины.

Ответ: изображение точки M находится на A′B′ и делит его так, что A′M′:M′B′ = 2:3.

Параллелограмм по трём вершинам

Даны изображения трёх вершин параллелограмма ABCD и направление проектирования; требуется достроить четвёртую вершину. Поскольку стороны параллелограмма попарно параллельны, можно использовать это свойство на изображении. Сначала важно определить, какая из известных вершин является общей для двух заданных сторон, то есть как вершины расположены по порядку.

1. Обозначьте известные изображения A′, B′ и C′ согласно условию. Если вершины идут по порядку, стороны AB и CD параллельны, как и стороны BC и AD.
2. Проведите через C′ прямую, параллельную A′B′: на ней должно лежать D′, так как CD параллельна AB. Через A′ проведите прямую, параллельную B′C′: на ней также лежит D′.
3. Обозначьте пересечение проведённых прямых D′. Пересечение задаёт четвёртую вершину, поскольку в параллелограмме обе пары противоположных сторон параллельны.
4. Проверьте результат: A′B′ должно быть параллельно C′D′, а B′C′ — A′D′. Если линии не пересекаются или получились неверные пары сторон, перепроверьте порядок вершин и проведённые параллели.

Ответ: D′ — пересечение прямой через C′, параллельной A′B′, и прямой через A′, параллельной B′C′.

Изображение призмы или пирамиды и точки на грани

Нужно построить изображение треугольной призмы или пирамиды, указать видимые и невидимые рёбра и изобразить точку на боковой грани. Направление проектирования определяет положение вершин и вид фигуры, а связи между вершинами и гранями подсказывают, какие линии следует провести. Чтобы корректно отметить точку, сначала требуется построить изображение самой грани.

1. Постройте изображение основания: спроецируйте его вершины и соедините их в нужном порядке. Для призмы отметьте соответствующие вершины второго основания, для пирамиды — вершину, не принадлежащую основанию.
2. Соедините вершины рёбрами по устройству фигуры. У призмы соединяют соответствующие вершины оснований, у пирамиды — вершину с каждой вершиной основания.
3. Выберите направление наблюдения, согласованное с чертежом. Рёбра, не закрытые гранями, проведите сплошными, а скрытые — пунктирными; затем проверьте, что видимость соседних участков не противоречит выбранному виду.
4. Если точка лежит на боковой грани, отметьте её внутри изображения этой грани. Чтобы показать её положение точнее, можно провести вспомогательную прямую в плоскости грани и использовать принадлежность точки этой прямой или её положение относительно рёбер.

Ответ: изображение строят по вершинам и рёбрам фигуры, скрытые рёбра обозначают пунктиром, а проекцию точки размещают на изображении заданной грани.

Типичные ошибки

Изображают окружность окружностью. Так делают, потому что на плоском чертеже привычная круговая форма кажется естественной. При общем наклонном проектировании окружность обычно превращается в эллипс, так как размеры по разным направлениям меняются неодинаково. Проверьте себя: окружностью можно изображать её только в специальном случае, а не по умолчанию.

Считают, что сохраняются все длины и углы. Это ошибка возникает из-за того, что чертёж выглядит как обычная плоская фигура. Проекция сохраняет не метрические свойства, а главным образом прямолинейность, параллельность и отношения отрезков на одной прямой. Перед измерением спросите себя, известно ли из условий, что отрезок или угол не искажён.

Проводят изображения параллельных рёбер непараллельными. Иногда так пытаются сделать рисунок объёмнее или исправить неудобное расположение вершин. Но если параллельные отрезки не совпадают с направлением проектирования и их изображения не схлопнулись, образы должны быть параллельны. Сверьте пары рёбер с исходной фигурой и проверьте чертёж линейкой.

Неверно показывают видимые и невидимые рёбра. Рёбра могут оказаться сплошными просто потому, что их так проще чертить, а пунктирные линии — не согласоваться с выбранным видом. Определите, какая грань закрывает каждое ребро от наблюдателя, и только после этого выбирайте тип линии. В конце проверьте видимость соседних рёбер по одному общему направлению наблюдения.

Связь с другими темами

Для работы с параллельной проекцией нужны знания о прямых и плоскостях в пространстве, параллельности, параллелограммах и отношениях отрезков. Эти понятия помогают строить изображение, не полагаясь на приблизительное измерение рисунка. Тема нужна при построении чертежей многогранников и сечений.

Дальше эти приёмы пригодятся при изучении аксонометрии и координатного метода. Они также помогают решать стереометрические задачи на сечения и взаимное расположение фигур. Во всех таких задачах важно отличать свойства самого пространственного объекта от особенностей его изображения.

Что запомнить

• При параллельном проектировании все проектирующие прямые параллельны.
• Изображение каждой точки получают пересечением её проектирующей прямой с плоскостью проектирования.
• Прямая обычно изображается прямой, а параллельные прямые — параллельными.
• Отношение отрезков одной прямой сохраняется.
• Длины, углы и перпендикулярность в общем случае не сохраняются.
• Окружность обычно изображается эллипсом.
• При изображении пространственной фигуры нужно отдельно обозначать видимые и невидимые элементы.