II. Выпуклые тела

Определения и обозначения

Выпуклое тело — тело, которое вместе с любыми двумя своими точками содержит весь отрезок, соединяющий эти точки. Иными словами, внутри него нет выемок, из-за которых отрезок мог бы выйти наружу. Это определение позволяет проверять выпуклость не по внешнему виду, а по точному геометрическому условию.

Выпуклый многогранник — выпуклое тело, граница которого состоит из конечного числа многоугольников. Такие многоугольные части поверхности называют гранями. Это важный частный случай выпуклого тела: его строение можно описывать конечным числом элементов.

Грань, ребро и вершина — основные элементы границы многогранника. Грань является многоугольником, ребро — общей стороной двух граней, а вершина — концом рёбер. По этим элементам удобно изучать форму многогранника и подсчитывать её характеристики.

Опорная плоскость — плоскость, имеющая с выпуклым телом общие точки и оставляющая всё тело по одну сторону от себя. Общие точки лежат на границе и показывают, где плоскость касается тела или поддерживает его. Опорные плоскости помогают описывать положение граней и границу выпуклого тела.

Как это устроено

Условие с отрезком естественно для выпуклости, потому что отрезок соединяет точки самым прямым способом. Если тело не имеет выемок, такой прямой путь между двумя его точками не должен покидать тело. У тела с углублением можно выбрать точки по разные стороны выемки, и часть соединяющего отрезка окажется вне тела. Поэтому отсутствие отверстий само по себе недостаточно: важна каждая пара точек.

Выпуклое тело можно получить как пересечение полупространств. Каждое полупространство задаётся плоскостью и одной из двух частей пространства по эту сторону плоскости; пересечение сохраняет свойство выпуклости, потому что отрезок между двумя его точками остаётся в каждом из полупространств. Если ограничивающие плоскости расположены подходящим образом, их пересечение образует многогранник. Те плоскости, которые действительно ограничивают тело, становятся опорными и описывают его границу.

Грани, рёбра и вершины образуют единую структуру поверхности. Внутри грани можно двигаться по многоугольнику, а при переходе через её сторону попадаешь в соседнюю грань. Поэтому ребро у выпуклого многогранника имеет грань с каждой из двух сторон, то есть принадлежит ровно двум граням. Вершины возникают там, где сходятся несколько рёбер, и связывают все элементы в каркас многогранника.

Числа граней Г, рёбер Р и вершин В связаны формулой Эйлера: В − Р + Г = 2. Её можно понять, если представить поверхность многогранника как сетку и постепенно удалять рёбра так, чтобы сетка оставалась связной: при удалении ребра и объединении двух граней уменьшаются одновременно Р и Г, поэтому выражение не меняется. В конце сетку можно стянуть к одной вершине, получив значение 2. Формула показывает, что элементы нельзя выбирать независимо: изменение двух из их чисел ограничивает третье.

Выпуклый многогранник можно рассматривать как оболочку своих вершин. Если взять все вершины и соединить их так, чтобы получить внешнюю границу, внутренние точки не добавят новых крайних участков. Это помогает исследовать многогранник по конечному набору точек, например проверять его положение, симметрию и возможные сечения. При этом сами грани и рёбра определяются тем, какие вершины лежат на одной опорной плоскости.

Элементы и свойства выпуклого многогранника

Таблица помогает отличить общее свойство выпуклых тел от особенностей многогранников. При решении задачи сначала определите, о каком объекте идёт речь, затем выбирайте подходящую строку. Формулу Эйлера используйте только после проверки, что многогранник выпуклый.

Разбор задач

Задача 1. Углубление в кубе

Условие. Определить, является ли выпуклым тело, полученное из куба удалением углубления, и обосновать ответ.

1. Выпуклость проверяют по отрезкам между произвольными парами точек тела.
2. Выберем две точки на участках поверхности по разные стороны углубления. Прямой отрезок между ними проходит через область, которая была удалена из куба.
3. Часть этого отрезка не принадлежит полученному телу. Значит, найден контрпример к условию выпуклости, и проверять остальные пары точек уже не требуется.

Ответ. Тело невыпукло, потому что существует пара его точек, соединяющий отрезок которых выходит в удалённое углубление.

Задача 2. По числу граней и вершин

Условие. У выпуклого многогранника 7 граней и 10 вершин. Найти число рёбер.

1. Запишем формулу Эйлера: В − Р + Г = 2.
2. Подставим известные значения: 10 − Р + 7 = 2.
3. Упростим выражение: 17 − Р = 2, поэтому Р = 15.
4. Проверим результат: 10 − 15 + 7 = 2, равенство выполняется.

Ответ. У многогранника 15 рёбер. Проверка нужна, чтобы не ошибиться со знаком при переносе неизвестного члена.

Задача 3. Несуществующий многогранник

Условие. Доказать, что выпуклый многогранник с 4 вершинами, 8 рёбрами и 5 гранями не существует.

1. Сначала проверим необходимое условие Эйлера: В − Р + Г = 4 − 8 + 5 = 1.
2. Для выпуклого многогранника результат должен быть равен 2, но получилось 1.
3. Следовательно, уже одно обязательное условие нарушено, и никакое расположение указанных элементов не исправит ситуацию.
4. Дополнительно при проверке подобных наборов учитывают, что грань должна иметь не менее трёх сторон, а каждое ребро должно принадлежать двум граням.

Ответ. Такой выпуклый многогранник не существует, поскольку его числа граней, рёбер и вершин не удовлетворяют формуле Эйлера.

Типичные ошибки

Считать выпуклым любое тело без отверстий. Отсутствие отверстий не исключает выемки или вогнутый участок поверхности. Проверьте отрезки между точками по разные стороны подозрительного места.

Путать грань с любой плоской частью поверхности. Грань должна быть многоугольником и частью границы многогранника, а не случайным плоским сечением. Уточните, ограничена ли эта часть рёбрами и входит ли она в поверхность тела.

Считать ребро принадлежащим одной или нескольким произвольным граням. У выпуклого многогранника ребро является общей стороной ровно двух граней. Для проверки посмотрите на две стороны ребра: каждая должна вести в свою соседнюю грань.

Применять формулу Эйлера к невыпуклому телу или неверно считать элементы. Формула В − Р + Г = 2 относится к выпуклым многогранникам, поэтому сначала установите тип тела. Затем пересчитайте только настоящие грани, рёбра и вершины и подставьте их в формулу.

Связь с другими темами

До изучения темы нужны понятия многогранника, грани, ребра и вершины, а также полупространства и свойства плоских многоугольников. Они объясняют, из каких частей складывается граница и как плоскости ограничивают тело.

Дальше выпуклые тела пригодятся при изучении многогранников, правильных тел и сечений. На их основе находят площади поверхностей, объёмы и взаимное расположение элементов.

С алгеброй тема связана через системы линейных неравенств. Координаты позволяют задать выпуклое тело пересечением полупространств и проверить, принадлежит ли конкретная точка этому телу.

Что запомнить

• Выпуклое тело содержит отрезок между любыми двумя своими точками.
• Выпуклый многогранник является выпуклым телом с многоугольной границей.
• Грань — многоугольник, ребро — общая сторона двух граней, вершина — конец рёбер.
• Каждое ребро выпуклого многогранника принадлежит ровно двум граням.
• Выпуклый многогранник определяется своей границей и совокупностью вершин.
• Для выпуклого многогранника выполняется формула В − Р + Г = 2.
• Опорная плоскость содержит точки границы и оставляет всё тело в одном полупространстве.