З Задачи к главе IV

Определения и обозначения

Многогранник — пространственное тело, поверхность которого состоит из плоских многоугольников. Эти многоугольники называются гранями, их стороны — рёбрами, а концы рёбер — вершинами. Определение помогает видеть в объёмной фигуре набор связанных плоских фигур.

Призма имеет два равных параллельных основания, боковые грани и боковые рёбра, соединяющие соответствующие вершины оснований. Высота призмы — перпендикулярное расстояние между плоскостями оснований. У прямой призмы боковые рёбра перпендикулярны основаниям, а у наклонной призмы они наклонены к ним.

Пирамида состоит из одного основания и боковых граней, которые имеют общую вершину вне плоскости основания. Каждая боковая грань пирамиды является треугольником, а боковые рёбра идут от вершины пирамиды к вершинам основания. Высота — перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость основания.

Сечение многогранника — фигура, полученная пересечением многогранника с плоскостью. Плоскость пересекает грани по отрезкам, а точки перехода с одной грани на другую становятся вершинами сечения. Поэтому границы сечения образуют замкнутый многоугольник.

Как это устроено

Вид многогранника определяют по его граням и связям между рёбрами. Если есть два равных параллельных многоугольника, соединённые боковыми гранями, перед нами призма; если одно основание окружено треугольниками с общей вершиной, это пирамида. Такое распознавание позволяет сразу выбрать нужные свойства фигуры.

На чертеже сначала находят основания, затем соответствующие им рёбра и вершины. Высоту нельзя определять только по направлению ребра: проверяют, образует ли она прямой угол с плоскостью основания. В призме высота соединяет плоскости двух оснований, а в пирамиде идёт от вершины перпендикулярно к основанию.

При построении сечения отмечают точки, в которых секущая плоскость пересекает рёбра или другие элементы граней. На каждой грани линия сечения должна быть отрезком, поэтому две точки соединяют лишь тогда, когда они лежат на одной грани. Последовательный переход по соседним граням не позволяет соединить точки через внутреннее пространство тела.

Вычисление пространственной величины часто сводят к плоской геометрии. Например, боковое ребро, высота и отрезок основания могут образовать прямоугольный треугольник, где подходит теорема Пифагора a² + b² = c². Площади граней находят по формулам плоских фигур, а затем используют полученные значения в нужной пространственной формуле.

План решения начинается с чертежа и обозначения всех данных. Затем устанавливают связи между элементами: параллельность, перпендикулярность, равенство сторон или принадлежность одной грани. В конце проверяют, соответствует ли ответ условию, имеет ли он правильные единицы измерения и не больше ли он очевидных размеров фигуры.

Сравнение призмы и пирамиды

Таблица помогает сначала определить тип тела, а затем выбрать подходящие элементы для решения. Если в условии есть прямая призма, ищите прямоугольные боковые грани; в пирамиде чаще всего выделяйте треугольник с высотой. Сравнивать нужно не только названия элементов, но и их взаимное расположение.

Разбор задач

Диагональ боковой грани призмы

Условие. В прямой треугольной призме стороны основания равны a и b, а боковое ребро равно h. Найдите диагональ боковой грани, построенной на стороне a.

1. Так как призма прямая, выбранная боковая грань является прямоугольником. Его стороны равны a и h.
2. Диагональ прямоугольника образует с этими сторонами прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора d² = a² + h².
3. Извлекаем квадратный корень: d = √(a² + h²). Сторона b основания для этой диагонали не используется, потому что она относится к другой боковой грани.

Ответ: d = √(a² + h²).

Боковое ребро пирамиды

Условие. Высота пирамиды равна H, а расстояние от основания высоты до вершины основания равно r. Найдите боковое ребро l, соединяющее вершину пирамиды с этой вершиной основания.

1. Обозначим основание высоты пирамиды точкой O, вершину пирамиды — S, а нужную вершину основания — A. Отрезок SO равен H и перпендикулярен плоскости основания.
2. Отрезок OA лежит в основании и равен r. Поскольку SO перпендикулярен всей плоскости основания, треугольник SOA прямоугольный с прямым углом при O.
3. Боковое ребро SA является гипотенузой. Поэтому l² = H² + r², откуда l = √(H² + r²).

Ответ: l = √(H² + r²).

Сечение пирамиды

Условие. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через заданные точки на её рёбрах, и определите форму сечения.

1. Отметьте заданные точки и выясните, на каких гранях они лежат. Если две точки принадлежат одной боковой грани, соедините их отрезком внутри этой грани.
2. Продолжайте построение через соседние грани: на каждой из них находите вторую точку пересечения секущей плоскости и соединяйте точки только в пределах этой грани.
3. Когда ломаная замкнётся, подсчитайте её вершины. Три вершины дают треугольник, четыре — четырёхугольник и так далее; форма зависит от расположения секущей плоскости.

Ответ: сечение является многоугольником, число сторон которого определяется количеством пересечённых граней.

Типичные ошибки

Боковое ребро принимают за высоту, потому что оба отрезка соединяют разные части тела. Ошибка возникает, если не проверяют перпендикулярность; нужно искать прямой угол с плоскостью основания или расстояние между параллельными основаниями.

Точки сечения соединяют через пространство, а не по граням. Так происходит, когда рассматривают только положение точек на чертеже; проверяйте, лежат ли концы каждого отрезка на одной грани.

Любую боковую грань призмы считают прямоугольником. Это верно только для прямой призмы, поэтому сначала установите, перпендикулярны ли боковые рёбра основаниям.

Размеры и углы считывают с рисунка как точные. Схематичный чертёж может быть не в масштабе, поэтому используйте только данные условия и свойства фигур.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны свойства параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей, а также знания о плоских многоугольниках. Теорема Пифагора, подобие треугольников и формулы площадей позволяют вычислять элементы многогранников через найденные плоские фигуры. Построение сечений и чтение пространственных чертежей подготовят к задачам на объёмы тел и дальнейшей стереометрии.

Что запомнить

• Основания призмы равны и параллельны.
• Боковые грани пирамиды — треугольники с общей вершиной.
• Высота многогранника задаётся перпендикуляром к плоскости основания.
• Сечение многогранника плоскостью является многоугольником.
• Каждую сторону сечения строят в плоскости соответствующей грани.
• Вычислительную задачу полезно сводить к плоской фигуре.