§ 3. Изображение многогранников

Определения и обозначения

Изображение многогранника — плоский чертёж, передающий взаимное расположение его вершин, рёбер и граней. Вершины показывают точками, рёбра — отрезками, а грани мысленно читаются как многоугольники. Такое изображение нужно, чтобы рассуждать о пространственной фигуре на обычном листе.

Параллельное проектирование — способ получения изображения пространственной фигуры с помощью параллельных проектирующих прямых. Каждая точка фигуры переносится на плоскость чертежа по прямой одного и того же направления. Этот способ помогает сохранить основные связи элементов и сделать чертёж узнаваемым.

Видимое ребро — ребро, расположенное на обращённой к наблюдателю части многогранника и изображаемое сплошной линией. Его можно представить как границу поверхности, которую не закрывает другая грань. Сплошная линия показывает, что это ребро должно быть видно при выбранном направлении наблюдения.

Невидимое ребро — ребро, закрытое гранью многогранника от наблюдателя и изображаемое штриховой линией. Оно существует в фигуре, хотя не видно непосредственно на чертеже. Штрихи позволяют не потерять информацию о структуре многогранника.

Как это устроено

Пространственную фигуру заменяют параллельной проекцией, потому что изображение на плоскости удобнее для записи и анализа. Проектирующие прямые идут параллельно, поэтому одинаковые направления в пространстве передаются единообразно. Благодаря этому чертёж не является фотографией, но сохраняет логическую схему многогранника.

При параллельном проектировании сохраняется принадлежность точки прямой: если вершина лежит на ребре, её изображение лежит на изображении этого ребра. Сохраняются также коллинеарность точек и параллельность прямых, поэтому можно узнавать грани и группы параллельных рёбер. Длина отрезка, величина угла и перпендикулярность обычно не сохраняются, поскольку направление проецирования меняет масштаб разных частей фигуры.

Структуру призмы восстанавливают по основанию и боковым рёбрам. Сначала находят многоугольник основания, затем отмечают соответствующие вершины второго основания и соединяют их параллельными отрезками. У пирамиды после построения основания ищут одну вершину вне его плоскости и проводят из неё рёбра ко всем вершинам основания.

Параллельные рёбра многогранника изображаются параллельными отрезками, потому что параллельное проектирование сохраняет параллельность. Равные отрезки такого свойства не имеют: они могут иметь разные направления относительно плоскости чертежа и поэтому спроецироваться с разными длинами. Значит, равенство рёбер нужно устанавливать по условию или свойствам фигуры, а не по виду чертежа.

Видимость определяют относительно выбранного наблюдателя: если грань или ребро закрыто передней частью фигуры, его считают невидимым. Видимые элементы проводят сплошными линиями, а скрытые — штриховыми, не меняя их положения. Перед окончанием построения полезно мысленно обойти поверхность многогранника и проверить, какие рёбра находятся ближе, а какие дальше.

Правила изображения элементов многогранника

Таблица служит краткой памяткой при построении. Сначала определите тип элемента и его связи с соседними элементами, затем выберите способ изображения и проверьте видимость. Если внешний вид чертежа противоречит сохранённой параллельности или принадлежности, построение нужно исправить.

Разбор задач

Треугольная призма ABC A₁B₁C₁

Условие. Изобразим треугольную призму ABC A₁B₁C₁, обозначим все её вершины и выделим видимые и невидимые рёбра. Выберем наблюдение так, чтобы треугольник ABC был передним основанием, а A₁B₁C₁ — дальним. Тогда дальнее основание и часть боковой поверхности могут оказаться скрытыми.

1. Построим треугольник ABC и подпишем его вершины.
2. Рядом построим треугольник A₁B₁C₁ в том же порядке вершин, чтобы соответствующие стороны имели одинаковые направления.
3. Соединим A с A₁, B с B₁, C с C₁; линии дальней грани и скрытые соединения проведём штрихами.

Ответ. Получены вершины A, B, C, A₁, B₁, C₁ и рёбра AB, BC, CA, A₁B₁, B₁C₁, C₁A₁, AA₁, BB₁, CC₁. Видимые рёбра отмечены сплошными линиями, скрытые — штриховыми согласно выбранному положению наблюдателя.

Четырёхугольная пирамида SABCD

Условие. Построим пирамиду SABCD и покажем рёбра, невидимые со стороны наблюдателя. Пусть ABCD — основание, а S — вершина над ним; сторону CD и вершину D расположим дальше от наблюдателя. Видимость зависит от выбранного положения, поэтому его нужно зафиксировать до нанесения штрихов.

1. Изобразим четырёхугольник ABCD, сохранив порядок вершин по контуру основания.
2. Отметим точку S вне плоскости основания, обычно выше него.
3. Проведём SA, SB, SC, SD; рёбра к передним вершинам оставим сплошными, а скрытые за передними гранями, например SD и дальние рёбра основания, обозначим штрихами.

Ответ. Пирамида состоит из основания ABCD и боковых граней SAB, SBC, SCD, SDA. В принятом ракурсе штриховыми показывают те рёбра, которые закрыты основанием или боковыми гранями, а не просто те, которые расположены ниже на листе.

Параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁

Условие. По изображению параллелепипеда определим параллельные грани, скрещивающиеся рёбра и восстановим невидимые рёбра. У параллелепипеда шесть граней, каждая из которых параллельна противоположной. Для проверки будем опираться на соответствие вершин двух оснований.

1. Найдём основание ABCD и верхнее основание A₁B₁C₁D₁; соответствующие вершины соединяются AA₁, BB₁, CC₁, DD₁.
2. Запишем пары параллельных граней: ABCD и A₁B₁C₁D₁, ABB₁A₁ и DCC₁D₁, BCC₁B₁ и ADD₁A₁.
3. Дорисуем отсутствующие рёбра по циклам граней и проверим, что противоположные рёбра параллельны, а выбранные скрещивающиеся не лежат в одной плоскости.

Ответ. Параллельные грани — три указанные пары. Например, AB и CC₁ могут быть скрещивающимися: они не пересекаются и не принадлежат одной грани; невидимые рёбра восстанавливаются соединением каждой вершины с нужными соседями.

Типичные ошибки

Все рёбра проводят сплошными. Так поступают, когда воспринимают чертёж как плоскую фигуру и забывают о наблюдателе. Проверьте каждое ребро: закрывает ли его передняя грань; если да, нужна штриховая линия.

Параллельные рёбра делают непараллельными. Ошибка возникает при построении второго основания призмы или параллелепипеда «на глаз». Проведите направляющие и сравните направления соответствующих отрезков.

По чертежу считают длины и углы настоящими. Проекция часто искажает масштаб и наклон, поэтому равенство нельзя проверять только измерением линейкой. Используйте свойства исходного многогранника и условие задачи.

Неправильно соединяют вершины оснований. Если соединить A с B₁ вместо A₁, изменятся боковые грани и структура фигуры. Проверяйте индексы: в призме соединяются соответствующие вершины, а в пирамиде каждое боковое ребро идёт из S к вершине основания.

Связь с другими темами

Перед изучением изображения многогранников нужны определения грани, ребра и вершины, а также свойства параллельных прямых и плоскостей. Эти правила особенно важны при построении сечений многогранников плоскостью: по чертежу находят линии пересечения граней. Они помогают и в задачах на взаимное расположение прямых и плоскостей, площади и объёмы, где сначала требуется правильно прочитать фигуру.

Что запомнить

• Изображение многогранника является его плоской параллельной проекцией.
• Вершины многогранника изображаются точками, а рёбра — отрезками.
• Параллельные рёбра изображаются параллельными отрезками.
• Видимые рёбра проводят сплошными линиями, невидимые — штриховыми.
• Параллельная проекция не обязана сохранять длины, углы и форму граней.
• При построении сначала изображают основание, затем остальные вершины и рёбра.
• По изображению должны однозначно читаться связи между вершинами, рёбрами и гранями.