"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (углублённый уровень)", Потоскуев Е.В., Звавич Л.И.
Формулы стереометрии помогают находить объёмы тел и площади их поверхностей. Они связывают геометрические размеры фигуры: площадь основания, высоту, радиус, образующую и другие элементы. В параграфе собраны правила для призмы, пирамиды, цилиндра, конуса и шара, а также показано, как выбирать нужную формулу, выполнять расчёты и проверять единицы измерения результата.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Объём тела — величина, показывающая, сколько единичных кубов помещается внутри тела. Его обозначают буквой V и измеряют в кубических единицах: мм³, см³, м³. Это понятие нужно, чтобы сравнивать вместимость тел и вычислять количество вещества или пространства внутри фигуры.
Площадь полной поверхности — сумма площадей всех граней многогранника или всех частей поверхности круглого тела. Её обычно обозначают Sполн и измеряют в квадратных единицах. Такая площадь нужна, например, чтобы узнать, сколько материала потребуется для изготовления или покрытия тела.
Боковая поверхность — часть поверхности призмы, пирамиды, цилиндра или конуса без оснований. Её обозначают Sбок; у призмы и цилиндра это боковые прямоугольники или развёртка прямоугольника, а у пирамиды и конуса — боковые треугольники или сектор. У шара боковую поверхность отдельно не выделяют, потому что у него нет оснований и боковых граней.
Тело вращения получают, когда плоскую фигуру вращают вокруг прямой. Так возникают цилиндр, конус и шар: прямоугольник даёт цилиндр, прямоугольный треугольник — конус, а круг при вращении вокруг диаметра — шар. Это представление помогает понять, почему в формулах появляются радиус и площадь круга πr².
Призму можно мысленно разделить на большое число тонких слоёв, параллельных основаниям. Каждый слой имеет такую же площадь, как основание, поэтому при сложении объёмов всех слоёв получается произведение площади основания на расстояние между крайними слоями, то есть на высоту. Поэтому V = Sоснh; наклон призмы не меняет этот принцип, если высота измерена перпендикулярно основаниям.
Пирамида с основанием и высотой, совпадающими с основанием и высотой призмы, занимает только треть её объёма. Причина в том, что при удалении от основания сечения пирамиды подобны основанию и постепенно уменьшаются, а не остаются одинаковыми, как у призмы. Поэтому V = ⅓Sоснh, и множитель 1/3 нельзя убрать.
У цилиндра каждый слой, параллельный основанию, является кругом того же радиуса, поэтому его площадь равна πr². Умножение этой площади на высоту даёт V = πr²h. В конусе такие слои уменьшаются к вершине, поэтому при тех же r и h его объём втрое меньше: V = ⅓πr²h.
Шар полностью определяется своим радиусом: чем больше r, тем больше и его объём, и площадь поверхности. Формула объёма V = 4πr³/3 содержит третью степень радиуса, потому что объём зависит сразу от трёх пространственных измерений. Площадь поверхности S = 4πr² содержит квадрат радиуса, как и другие площади.
Полную поверхность находят сложением всех частей, которые видны у тела. Для призмы или цилиндра нужно отдельно найти площади двух оснований и боковую поверхность, а для пирамиды или конуса — площадь одного основания и боковой поверхности. Сначала выбирают формулу каждой части, затем приводят единицы и складывают результаты.
| Тело | Площадь основания | Боковая поверхность | Полная поверхность | Объём |
|---|---|---|---|---|
| Призма | Sосн | Pоснh | 2Sосн + Pоснh | Sоснh |
| Пирамида | Sосн | ½Pоснl | Sосн + ½Pоснl | ⅓Sоснh |
| Цилиндр | πr² | 2πrh | 2πr² + 2πrh | πr²h |
| Конус | πr² | πrl | πr² + πrl | ⅓πr²h |
| Шар | — | — | 4πr² | 4πr³/3 |
В таблице Sосн означает площадь основания, Pосн — его периметр, h — перпендикулярную высоту, r — радиус, l — образующую конуса или апофему правильной пирамиды. Формулы боковой поверхности призмы и пирамиды записаны для прямой призмы и правильной пирамиды. Сначала определите, что требуется найти: боковую или полную поверхность, объём или площадь основания.
Задача 1. Найти объём прямой призмы, если Sосн = 18 см² и h = 7 см. Здесь уже дана площадь основания, поэтому вычислять её по дополнительным размерам не требуется. Используем формулу призмы.
Ответ: 126 см³.
Задача 2. Найти полную поверхность правильной четырёхугольной пирамиды со стороной основания 6 см и апофемой 5 см. Основание является квадратом, а боковая поверхность состоит из четырёх равных треугольников. Поэтому сначала найдём эти две части отдельно.
Ответ: 96 см².
Задача 3. Цилиндр и конус имеют одинаковые r = 3 см и h = 8 см. Требуется найти разность их объёмов. При одинаковых основании и высоте объём конуса равен трети объёма цилиндра, но вычислим оба значения, чтобы не перепутать порядок вычитания.
Ответ: 48π см³.
Подстановка наклонной высоты вместо перпендикулярной возникает потому, что обе величины обозначают длины, связанные с телом. Но объём призмы, пирамиды, цилиндра и конуса использует именно высоту h. Проверьте, проведён ли отрезок под прямым углом к основанию.
Боковую поверхность иногда принимают за полную, забывая основания. Это происходит, когда ученик сразу применяет формулу боковых граней и не анализирует, что спрашивается в условии. Самопроверка проста: перечислите все части наружной поверхности и убедитесь, что каждую учли.
В формуле объёма конуса нередко используют πr²h, как для цилиндра, и забывают множитель 1/3. Причина — одинаковые радиус и высота в обеих формулах. Сравните тело с цилиндром того же основания: конус должен иметь втрое меньший объём.
Ещё одна ошибка — запись площади в кубических единицах или объёма в квадратных. Такое смешение появляется, если не проверить размерность после вычислений. Помните: площадь — длина в квадрате, объём — длина в кубе.
Для применения формул нужны площади треугольника, многоугольника и круга, потому что основание и боковые грани часто являются именно такими фигурами. Понадобятся также понятия перпендикуляра и высоты, а ещё свойства призмы и пирамиды. Эти формулы используются в задачах на комбинации тел, сечения и поверхности сложных фигур: отдельные части находят по известным правилам, а затем складывают или вычитают.
Чем высота тела отличается от образующей или апофемы?
Высота — это перпендикулярное расстояние между основаниями или от вершины до плоскости основания. Образующая конуса соединяет вершину с точкой окружности основания, а апофема правильной пирамиды является высотой боковой грани. Поэтому образующая и апофема обычно наклонены и не заменяют высоту в формуле объёма.
Почему в формуле объёма пирамиды появляется множитель 1/3?
Пирамида с теми же основанием и высотой занимает треть объёма соответствующей призмы. Это следует из общего свойства объёмов пирамид и может быть обосновано разбиением тел на тонкие слои. Поэтому формула имеет вид V = ⅓Sоснh.
Как найти полную поверхность цилиндра или конуса?
Для цилиндра складывают площади двух кругов и боковой поверхности: Sполн = 2πr² + 2πrh. Для конуса складывают площадь одного круга с площадью боковой поверхности: Sполн = πr² + πrl, где l — образующая.
Нужно ли учитывать два основания при вычислении полной поверхности призмы?
Да, у призмы два равных основания, поэтому Sполн = 2Sосн + Sбок. Если требуется только боковая поверхность, основания к результату не добавляют.
Как проверить, правильно ли выбраны единицы измерения в ответе?
Площадь записывают в квадратных единицах: см², м², а объём — в кубических: см³, м³. Перед вычислением все длины нужно привести к одной единице, а после подстановки проверить размерность результата.
Формулы стереометрии
