"Математика (базовый уровень)", Мордкович А.Г., Смирнова И.М.
Корень n-й степени — число, которое при возведении в степень n даёт заданное число. Это понятие помогает решать уравнения и преобразовывать выражения со степенями. При чётном показателе корень из положительного числа имеет два значения как решение уравнения, но знак радикала обозначает только неотрицательный арифметический корень. При нечётном показателе корень существует и для отрицательного числа.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Корнем n-й степени из числа a называют число x, для которого xⁿ = a, где n — натуральное число больше 1. Записывают такой корень как √[n]{a}. Это определение превращает извлечение корня в обратную задачу к возведению в степень: известно значение степени, нужно найти число, которое её дало.
При чётном n арифметическим корнем n-й степени из неотрицательного числа a называют единственное неотрицательное число, n-я степень которого равна a. Его обозначают √[n]{a}. Неотрицательное значение выбирают потому, что чётную степень дают и число, и противоположное ему число, а знак радикала должен однозначно задавать результат.
Корнем нечётной степени из действительного числа называют единственное действительное число, n-я степень которого равна подкоренному числу. В отличие от случая с чётной степенью, подкоренное число может быть отрицательным. Это определение позволяет находить корни для любых действительных чисел, не вводя дополнительного ограничения на знак.
Подкоренное выражение — число или выражение, записанное под знаком корня; показатель корня — маленькое число у верхнего края знака радикала, которое указывает степень. Например, в √[3]{x − 2} подкоренное выражение — x − 2, а показатель равен 3. Эти обозначения помогают понять, какую степень проверять и какие значения допустимы.
Возведение в степень отвечает на вопрос, чему равно xⁿ, если число x известно. Извлечение корня ставит обратную задачу: задано a, требуется найти x из равенства xⁿ = a. Поэтому корень проверяют именно возведением в указанную степень, а не каким-либо действием с самим числом a.
Если n чётное, степень любого действительного числа неотрицательна: отрицательные множители при перемножении попарно дают положительный результат. Значит, при a < 0 уравнение xⁿ = a не имеет действительных решений, а при a ≥ 0 решения могут существовать. Когда a > 0, подходят два числа: положительное и противоположное ему; радикал обозначает только положительное, арифметическое значение.
При нечётном n знак результата совпадает со знаком основания: отрицательное число, умноженное на себя нечётное количество раз, даёт отрицательный результат. Кроме того, при увеличении основания значение его нечётной степени увеличивается, поэтому одна и та же степень не может получиться от двух разных чисел. Отсюда следует, что для каждого действительного a есть ровно один действительный корень нечётной степени.
Ноль — особый случай для любого показателя: только ноль в степени n даёт ноль, поэтому корень любой степени из нуля равен нулю. Для чётного n и положительного a уравнение имеет два решения, но запись с радикалом не перечисляет оба. Например, √[4]{16} = 2, тогда как уравнение x⁴ = 16 имеет решения 2 и −2.
Проверка корня состоит в возведении найденного числа в степень n: результат должен совпасть с подкоренным числом. При чётном показателе сначала проверяют, что подкоренное выражение неотрицательно, а затем учитывают, что арифметический корень не может быть отрицательным. Такой порядок не позволяет принять решение уравнения за значение радикала.
| Случай | Условие на a | Существование и число действительных корней уравнения xⁿ = a | Значение √[n]{a} |
|---|---|---|---|
| n чётное | a > 0 | Существуют два корня: положительный и отрицательный | Положительный корень |
| n чётное | a = 0 | Существует один корень: 0 | 0 |
| n чётное | a < 0 | Действительных корней нет | В действительных числах не определён |
| n нечётное | a > 0 | Существует один положительный корень | Положительный корень |
| n нечётное | a = 0 | Существует один корень: 0 | 0 |
| n нечётное | a < 0 | Существует один отрицательный корень | Отрицательный корень |
Сначала найди строку по чётности показателя n, затем учти знак a. Столбец про уравнение показывает все его решения, а последний столбец — значение именно радикала. Поэтому при чётном n и a > 0 эти результаты не совпадают по количеству.
Здесь важно разделить два вопроса: значение радикала и все решения уравнения. Четвёртая степень — чётная, поэтому положительное и отрицательное числа могут дать один результат. Сначала найдём арифметический корень, а затем перечислим решения.
Проверка подтверждает оба значения: при возведении 2 и −2 в четвёртую степень получается 16. Ответ: √[4]{16} = 2; решения уравнения — x = −2 и x = 2.
Показатель равен 3, то есть корень нечётной степени. Поэтому отрицательное подкоренное число допустимо, и искать нужно отрицательное число, куб которого равен −125. Подберём его по знакомому кубу числа 5.
Проверка выполнена возведением результата в третью степень. Ответ: −5.
Показатель 6 чётный, поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Сначала найдём допустимые значения x, а после подставим заданное значение. Такой порядок важен: вычислять корень из отрицательного числа в действительных числах нельзя.
Ответ: выражение имеет смысл при x ≥ 3/2; при x = 2 его значение равно 1. Проверка: 1⁶ = 1, то есть исходное подкоренное выражение.
Ошибка — считать, что √[n]{a} при чётном n обозначает оба корня. Она возникает потому, что уравнение xⁿ = a действительно может иметь два решения, но радикал обозначает арифметический, неотрицательный корень. Проверь себя: отдельно запиши значение радикала и отдельно — все решения уравнения.
Нельзя утверждать, что корень чётной степени из отрицательного числа существует среди действительных чисел. Это заблуждение появляется, если не учитывать, что чётная степень любого действительного числа неотрицательна. Для проверки подставь предполагаемый корень в уравнение xⁿ = a и сравни знаки обеих частей.
Не запрещай отрицательное подкоренное число при нечётном n: такое ограничение относится только к чётному показателю. Ошибку часто переносят с квадратного корня на все корни подряд. Проверь знак: отрицательное число в нечётной степени остаётся отрицательным, поэтому корень может быть действительным.
Корень n-й степени нельзя находить делением числа a на n. Такое смешение возникает из-за того, что и корень, и показатель n записаны рядом, но корень определяется условием xⁿ = a. Чтобы проверить ответ, возведи его в степень n: результат должен быть равен a, а не частному a : n.
Для изучения корней нужно знать, как возводить действительные числа в натуральную степень, различать чётные и нечётные числа и решать простейшие уравнения вида xⁿ = a. Именно свойства степени объясняют, когда корень существует и сколько решений может иметь уравнение. Если эти действия знакомы, определение корня становится обратной задачей к уже изученному возведению в степень.
Корни используют при преобразовании выражений и решении уравнений и неравенств. Они также нужны для изучения степеней с рациональными показателями: связь между корнем и степенью помогает записывать и преобразовывать такие выражения. Поэтому понимание условий существования корня пригодится и в дальнейших темах.
Почему у √[4]{16} значение 2, если уравнение x^4 = 16 имеет ещё и корень −2?
Знак √[4]{16} обозначает арифметический корень — единственное неотрицательное число, четвёртая степень которого равна 16. Поэтому √[4]{16} = 2, а решениями уравнения x⁴ = 16 являются 2 и −2.
Можно ли извлечь корень чётной степени из отрицательного числа?
В действительных числах нельзя: чётная степень любого действительного числа неотрицательна. Поэтому уравнение xⁿ = a при чётном n и a < 0 не имеет действительных решений.
Почему корень нечётной степени из отрицательного числа существует?
При возведении отрицательного числа в нечётную степень результат остаётся отрицательным. Например, (−5)³ = −125, поэтому ∛−125 = −5. Для каждого действительного подкоренного числа такой корень единственный.
Что означает маленькое число над знаком корня?
Это показатель корня: он показывает, какую степень нужно возвести в найденное число, чтобы получить подкоренное выражение. Например, в √[4]{16} показатель равен 4; если он не указан, подразумевается квадратный корень.
Как проверить, правильно ли найден корень n-й степени?
Возведите найденное число в степень n и проверьте, получилось ли подкоренное число. При чётном n дополнительно проверьте, что подкоренное число неотрицательно, а значение арифметического корня неотрицательно.
§ 1. Понятие корня п-й степени из действительного числа
