§ 2. Функции у = ух, их свойства и графики

Определения и обозначения

Тангенс — функция y = tg x, заданная отношением sin x к cos x при cos x ≠ 0. Иначе говоря, чтобы найти тангенс угла, делят значение его синуса на значение косинуса. Такое определение позволяет выражать тангенс через уже знакомые функции и вычислять его значения.

Котангенс — функция y = ctg x, заданная отношением cos x к sin x при sin x ≠ 0. Здесь значение косинуса делят на значение синуса. Эта запись помогает находить котангенс по таблицам и формулам для синуса и косинуса.

Период функции — ненулевое число T, при котором значения повторяются: f(x + T) = f(x) для всех допустимых x. Если известна функция на одном промежутке длины T, её поведение на остальных промежутках можно восстановить повторением. Для тангенса и котангенса наименьший положительный период равен π.

Область определения функции — все значения x, для которых выражение функции имеет смысл. Для дроби это означает, что знаменатель не равен нулю. Знание области определения показывает, какие точки нужно исключить при вычислениях и отметить на графике.

Как это устроено

В записи tg x = sin x / cos x знаменатель равен нулю при x = π/2 + πk, где k ∈ Z. В этих точках деление невозможно, поэтому они не входят в область определения тангенса. У котангенса знаменатель — sin x, а синус равен нулю при x = πk, поэтому именно эти точки исключаются из его области определения.

Синус и косинус при прибавлении π меняют знак: sin(x + π) = −sin x и cos(x + π) = −cos x. В отношении для тангенса два минуса сокращаются, и получается tg(x + π) = tg x. В отношении для котангенса происходит то же самое, поэтому ctg(x + π) = ctg x; период обеих функций равен π, а не 2π.

Синус — нечётная функция, а косинус — чётная: sin(−x) = −sin x и cos(−x) = cos x. Поэтому tg(−x) = −tg x и ctg(−x) = −ctg x: обе функции нечётные. Если точка (x; y) принадлежит графику такой функции, то ему принадлежит и точка (−x; −y), что означает симметрию относительно начала координат.

Знак частного определяется знаками числителя и знаменателя: при одинаковых знаках оно положительно, при разных — отрицательно. В I и III четвертях синус и косинус одного знака, поэтому тангенс и котангенс положительны. Во II и IV четвертях знаки синуса и косинуса различны, поэтому обе функции отрицательны; на границах четвертей нужно отдельно проверить, определена ли функция и не равна ли она нулю.

Для построения достаточно сначала рассмотреть один промежуток между соседними асимптотами и отметить несколько характерных значений. Тангенс на каждом таком промежутке возрастает, а котангенс убывает; асимптоты показывают, к каким границам ветви приближаются, не пересекая их. Затем график повторяют с шагом π, используя периодичность, и проверяют симметрию относительно начала координат.

Свойства функций y = tg x и y = ctg x

В таблице k — любое целое число; оно позволяет записать свойства сразу для всех повторяющихся промежутков. Сначала проверяйте область определения и асимптоты, а затем используйте период, нули и монотонность для построения ветвей. Чтобы определить знак, удобно сопоставить нужный промежуток с четвертями единичной окружности.

Разбор задач

Задача 1. Найдите область определения и вычислите значение функции y = tg x при x = π/4 и функции y = ctg x при x = 5π/6. Сначала проверим ограничения на знаменатель, а затем подставим углы в определения через синус и косинус. Так мы не перепутаем значение функции с условием, при котором она существует.

1. Для тангенса требуется cos x ≠ 0, поэтому x ≠ π/2 + πk. При x = π/4 косинус не равен нулю, а tg(π/4) = sin(π/4) / cos(π/4) = 1.
2. Для котангенса требуется sin x ≠ 0, то есть x ≠ πk. Угол 5π/6 этому условию удовлетворяет: ctg(5π/6) = cos(5π/6) / sin(5π/6) = (−√3/2) / (1/2) = −√3.

Ответ: D(tg x) = {x: x ≠ π/2 + πk}; tg(π/4) = 1. D(ctg x) = {x: x ≠ πk}; ctg(5π/6) = −√3, где k ∈ Z.

Задача 2. Решите уравнение tg x = √3 на промежутке [−π; π]. Сначала найдём угол, тангенс которого равен √3, а затем учтём периодичность функции. После этого оставим только корни, попадающие в заданные границы.

1. Из основных значений следует, что tg(π/3) = √3. Значит, одно решение — π/3.
2. Поскольку период тангенса равен π, все решения имеют вид x = π/3 + πk, k ∈ Z. При k = 0 получаем π/3, а при k = −1 — −2π/3; оба числа лежат на отрезке [−π; π].
3. При k ≥ 1 корни больше π, а при k ≤ −2 корни меньше −π. Поэтому других решений на данном отрезке нет.

Ответ: x = −2π/3; π/3.

Задача 3. Постройте график y = tg x и с его помощью решите tg x ≤ 1 на промежутке (−π/2; π/2). На этом промежутке функция непрерывно возрастает, а её значения у границ не достигаются, поскольку границы являются асимптотами. Уровню y = 1 соответствует угол π/4, поэтому решение определяется сравнением x с этой точкой.

1. Проведите вертикальные асимптоты x = −π/2 и x = π/2. Отметьте точки (0; 0) и (π/4; 1), после чего нарисуйте возрастающую ветвь между асимптотами.
2. На возрастающей ветви значения не превышают 1 слева от точки x = π/4 и в самой этой точке. Левую границу −π/2 включать нельзя: она не входит в заданный промежуток.

Ответ: x ∈ (−π/2; π/4].

Типичные ошибки

Период тангенса или котангенса иногда принимают равным 2π по аналогии с синусом и косинусом. Это происходит, если не проверить, что именно меняется в отношении при сдвиге на π: числитель и знаменатель одновременно меняют знак. Проверка tg(x + π) = tg x и ctg(x + π) = ctg x сразу показывает период π.

В область определения могут ошибочно включить x = π/2 + πk для тангенса или x = πk для котангенса. Причина — забывают, что функция задана дробью и её знаменатель не может быть нулём. Для самопроверки подставьте такие значения в cos x или sin x: соответствующий знаменатель обращается в ноль.

Из-за отдельных похожих на симметричные ветвей график иногда считают чётным. Но чётность проверяют не по внешнему виду одной ветви, а по равенству f(−x) = f(x); здесь же выполняется f(−x) = −f(x). Значит, обе функции нечётные, и их графики симметричны относительно начала координат; проверьте, что вместе с точкой (x; y) есть точка (−x; −y).

Если при построении не отметить вертикальные асимптоты, ветви могут быть ошибочно соединены там, где функция не определена. Так случается, когда график рисуют как непрерывную линию, не сверяясь со знаменателем. Перед построением найдите нули знаменателя и оставьте в этих точках разрывы: ветви приближаются к асимптотам, но не пересекают их.

Связь с другими темами

Чтобы изучать тангенс и котангенс, нужны определения и графики синуса и косинуса, единичная окружность и значения тригонометрических функций. Формулы tg x = sin x / cos x и ctg x = cos x / sin x позволяют переносить известные свойства синуса и косинуса на новые функции. Единичная окружность помогает определить знаки функций в четвертях и найти значения в основных точках.

Свойства тангенса и котангенса используют при решении тригонометрических уравнений и неравенств: период помогает записать все корни, а график — выбрать нужные промежутки. Те же приёмы применяются при построении преобразованных графиков, например со сдвигом или растяжением. Позже производные тангенса и котангенса позволяют исследовать их изменение более формально.

Что запомнить

• tg x = sin x / cos x, а ctg x = cos x / sin x.
• Область определения тангенса: x ≠ π/2 + πk.
• Область определения котангенса: x ≠ πk.
• Период и тангенса, и котангенса равен π.
• Обе функции нечётные.
• Тангенс возрастает на каждом промежутке (−π/2 + πk; π/2 + πk).
• Графики имеют вертикальные асимптоты в точках, где знаменатель обращается в ноль.