"Математика (базовый уровень)", Мордкович А.Г., Смирнова И.М.
Корень n-й степени — число, которое при возведении в степень n даёт подкоренное число. Арифметический корень чётной степени существует только для неотрицательного числа, а нечётной — для любого действительного числа. Свойства корней помогают упрощать выражения, но применять их можно лишь при соблюдении условий: проверять знаки подкоренных выражений, знаменатель и чётность показателя. Особенно важно не забывать о модуле при извлечении корня из чётной степени.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Пусть n — натуральное число больше 1. Число b называют корнем n-й степени из числа a, если bⁿ = a. Это определение позволяет понимать корень как решение уравнения xⁿ = a. Оно пригодится, когда нужно проверить результат возведением в степень.
Арифметический корень n-й степени из a — это неотрицательное число, n-я степень которого равна a. Его обозначают ⁿ√a; для чётного n он существует при a ≥ 0. Арифметическое значение выбирает один корень, поэтому знак перед ним не может быть минусом.
При чётном n действительный корень уравнения xⁿ = a существует только при a ≥ 0: число с чётной степенью не бывает отрицательным. При нечётном n корень есть для любого действительного a, в том числе отрицательного. Это различие нужно учитывать до вычислений, чтобы не выполнять преобразования с выражением, которое не определено.
Запись ⁿ√a означает именно арифметический корень, а не все решения уравнения xⁿ = a. Например, √9 = 3, хотя уравнение x² = 9 имеет два решения: 3 и −3. Различать обозначение корня и множество решений важно при решении уравнений.
Свойства корней выводятся из определения: возводим предполагаемое равенство в степень n и проверяем, получаем ли одинаковые подкоренные выражения. Например, чтобы обосновать произведение корней, достаточно заметить, что (ⁿ√a · ⁿ√b)ⁿ = ab. Но этого недостаточно без проверки области определения: арифметические корни обоих множителей должны существовать, если n чётно.
Для корня из произведения получаем ⁿ√(ab) = ⁿ√a · ⁿ√b. Действительно, произведение корней при возведении в n-ю степень даёт ab, а при чётном n оно неотрицательно, как и арифметический корень. Поэтому при чётном n требуются a ≥ 0 и b ≥ 0; при нечётном оба множителя могут быть любыми действительными числами.
Аналогично, (ⁿ√a / ⁿ√b)ⁿ = a/b, поэтому ⁿ√(a/b) = ⁿ√a / ⁿ√b при допустимых значениях. Знаменатель b обязательно не равен нулю, иначе дробь не определена. Для чётного n подкоренные числа a и b должны быть неотрицательными; эти условия обеспечивают существование обоих арифметических корней и ненулевой корень в знаменателе.
При извлечении корня из степени знак зависит от чётности показателя: ⁿ√(aⁿ) = |a| при чётном n и ⁿ√(aⁿ) = a при нечётном. В чётном случае и a, и −a после возведения дают одно и то же число, а арифметический корень выбирает неотрицательное значение. При нечётном показателе знак сохраняется, поэтому результатом остаётся само a.
Корень из корня можно объединить: ᵐ√(ⁿ√a) = ᵐⁿ√a, если обе записи определены. При чётных показателях подкоренное число должно быть неотрицательным; если внешний корень чётный, внутренний корень также должен быть неотрицательным. При корнях нечётной степени ограничение по знаку не требуется. Так же осторожно читают выражение ⁿ√(aᵐ): его нельзя упрощать, забывая об области определения и модуле, когда извлекают корень чётной степени.
| Свойство | Формула | Условия применения |
|---|---|---|
| Корень из произведения | ⁿ√(ab) = ⁿ√a · ⁿ√b | При чётном n: a ≥ 0 и b ≥ 0; при нечётном n: a и b — любые действительные числа. |
| Корень из частного | ⁿ√(a/b) = ⁿ√a / ⁿ√b | b ≠ 0; при чётном n: a ≥ 0 и b > 0. |
| Корень из степени | ⁿ√(aⁿ) = |a| при чётном n; ⁿ√(aⁿ) = a при нечётном n | a — действительное число; результат зависит от чётности n. |
| Степень корня | (ⁿ√a)ᵐ = ⁿ√(aᵐ) | При чётном n требуется a ≥ 0; при нечётном n допустимо любое a. |
| Корень из корня | ᵐ√(ⁿ√a) = ᵐⁿ√a | Обе части должны быть определены; для чётных корней проверяют неотрицательность подкоренного выражения. |
Пользуйтесь таблицей в таком порядке: сначала проверьте область определения, затем выберите подходящую формулу. После преобразования можно возвести результат в нужную степень, чтобы проверить равенство.
Сначала смотрим на показатели корней: 3 — нечётное число, а 4 — чётное. Поэтому отрицательное подкоренное число в первом выражении допустимо, а во втором нужно найти неотрицательное число, четвёртая степень которого равна 81. Проверка возведением в степень подтверждает оба результата.
Ответ: −5 и 3.
Здесь под корнями стоят произведения чисел и степеней переменных. Для квадратного корня нужно помнить, что результат неотрицателен, поэтому из x² выходит |x|, а не x. Кубический корень нечётный, следовательно, знак переменной сохраняется.
Ответ: 6|x| и 2a.
Оба корня четвёртой степени, поэтому каждый арифметический корень неотрицателен. Знаменатель не должен быть равен нулю, значит, b ≠ 0; при этом подкоренные выражения неотрицательны для любых действительных a и b. Удобно сначала применить свойство частного, а затем использовать формулу корня из степени с модулем.
Ответ: 2|a||b|, при b ≠ 0. Других ограничений на действительные a и b нет.
Ошибка: считать, что корень чётной степени из отрицательного числа существует в действительных числах. Часто вычисления начинают сразу, не проверив знак подкоренного выражения. До применения формул проверьте, что оно неотрицательно; например, ⁴√(−16) в действительных числах не определён.
Ошибка: записывать √(a²) = a. Так поступают, забывая, что арифметический квадратный корень неотрицателен, тогда как a может быть отрицательным. Проверьте равенство при a = −2: √(a²) = 2, а не −2, поэтому правильная запись — √(a²) = |a|.
Ошибка: раскладывать корень из суммы как сумму корней. Свойства произведения и частного ошибочно переносят на сложение, хотя для него такого правила нет. Проверка на числах показывает проблему: √(1 + 9) = √10, а √1 + √9 = 4; эти значения не равны.
Ошибка: применять свойство корня из частного с нулевым знаменателем или не проверять знаки. Желание быстрее сократить выражение может привести к записи, не имеющей смысла, а при чётном показателе ещё и к несуществующему корню. До преобразования убедитесь, что знаменатель не равен нулю и все подкоренные значения допустимы.
Для работы с корнями нужны определение степени с натуральным показателем и свойства степеней: именно с помощью возведения в степень проверяют формулы. Также важно уметь решать уравнения вида xⁿ = a и различать чётный и нечётный показатели. Позже свойства корней помогут упрощать выражения со степенями с рациональными показателями и решать уравнения, в которых неизвестная находится под корнем.
Почему квадратный корень из x² равен модулю x?
Арифметический квадратный корень всегда неотрицателен. Число |x| неотрицательно и при возведении в квадрат даёт x², поэтому √(x²) = |x|.
Можно ли извлечь корень чётной степени из отрицательного числа?
В действительных числах — нельзя: степень любого действительного числа с чётным показателем неотрицательна. Например, уравнение x⁴ = −16 не имеет действительных решений.
Когда корень нечётной степени может быть отрицательным?
Когда подкоренное число отрицательно. Например, ³√(−8) = −2, потому что (−2)³ = −8.
Можно ли раскрыть корень из суммы как сумму корней?
Нет, в общем случае √(a + b) не равно √a + √b. Свойства корня относятся к произведению и частному, а не к сумме; равенство нужно проверять отдельно для конкретных чисел.
Какие условия нужно проверить перед применением свойства корня из частного?
Знаменатель дроби должен быть отличен от нуля. Если показатель корня чётный, числитель и знаменатель подкоренной дроби должны быть неотрицательными; для самой дроби это означает, что её значение неотрицательно.
§ 3. Свойства корня п-й степени
